サマースクール復習その6

* DUISTERMAAT-HECKMAN FORMULAS
http://www.nim.nankai.edu.cn/activites/conferences/hy20090518/pdf/Talk-Bismut-20090511.pdf
をみると、
ガウス積分を1+1と次元を上げて、複素解析関数と見て、
積分路を変更して計算することと、
elliptic operatorとhypo-elliptic operatorをつなぐ
変形を複素解析的につないでみる、
ということが説明されていた。
一方で、ガウス積分の計算は、ハミルトニアンをとって、
相空間における流れの固定点の周りの情報で局所化することにより計算できる。
後者を公式化したものが、DUISTERMAAT-HECKMANの公式になるが、
では、前者の視点で後者を見るとどうなるか？
という疑問がわく。
それには、やはりBismutが、
DUISTERMAAT-HECKMAN FORMULAS AND INDEX THEORY
http://www.math.u-psud.fr/~bismut/Index.pdf
で、指数定理の観点から説明をつけている。

* ループ空間
代数多様体に関する指数定理がGrothendieck-Riemann-Rochの定理で、
それを体上ではなく整数環上で、無限素点の情報込みで記述するのが、算術的Riemann-Rochの定理だった。
(ex. http://www.ihes.fr/~soule/arrfin.pdf)
有限素点におけるガロア表現について、
剰余体の表現を持ち上げる変形の空間を見る時に、肥田理論がでてくる。
そこで、無限素点における持ち上げとして対応するであろうと思われるのがループ空間ということになる。
(変形空間を記述するのが熱核のt->0の漸近展開といえないだろうか？)

サマースクール復習その5

* トーリック曲面との関連
MACDONALD FORMULA FOR CURVES WITH PLANAR SINGULARITIES
(http://arxiv.org/abs/1107.2175)
spectral curveのspecial fiberについての話
Arithmetic harmonic analysis on character and quiver varieties II
(http://arxiv.org/abs/1109.5202)
character varieryの話と、２次元トーラスのHilbert schemeを関連づける

Quivers, curves, and the tropical vertex
(http://arxiv.org/abs/0909.5153)
(複素)２次元トーラス
tropicalな骨格をとりだして、Gromov-Witten invariantsを計算しようとしている。
ミラー対称性もtropical部分から出そうとしている。
Dimers and cluster integrable systems
(http://arxiv.org/abs/1107.5588)
1.5 Analogies between dimers, Teichmu ̈ller theory and cluster varieties
にあるテーブルを理解したい。
とくに、この中で、
Newton Polygonから二部グラフを作り、さらにNewton Polygonに対応するトーリック曲面の上の曲線と
関連づけている。
つまり、複素1次元トーラスを実2次元トーラスと見て、それから代数曲面を作っている。
組み合わせ的な構造を抽出するのに、一方でグラフがあり、もう一方で団代数があり、
背後にトロピカル幾何がある、
ということで、これとBerkovich空間を関係づけて持ち上げを理解したい。