周期にまつわる微分方程式

楕円曲線のpencilから微分方程式を導出している
Sixth Painlevé Equation, Universal Elliptic Curve, and Mirror of $\bold{P}^2$
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9605010
(ページの下端が切れているのが辛い)

Painlevé type equations and Hitchin systems
http://arxiv.org/abs/math-ph/9901019

Hitchin hamiltonianから周期の無限小変形を導出しているのは
Donagi-Markman cubic for Hitchin systems
http://arxiv.org/abs/math/0607060

この辺りは佐藤グラスマンでの変形の計算と対応をつけたいところ。

自由フェルミオン場

Hurwitz numbers, matrix models and enumerative geometry
http://arxiv.org/abs/0709.1458
- Eynaud-Orintinの理論の方向性を解説している

Two Dimensional Kodaira-Spencer Theory and Three Dimensional Chern-Simons Gravity
http://arxiv.org/abs/0711.1932
- Eynaud-Orintinの理論の応用

Quantum Curves and D-Modules
http://arxiv.org/abs/0810.4157
- 自由フェルミオン場についてのまとめ
頭のいい人が書くと、佐藤グラスマンやτ関数が、
直観的でわかりやすい形で説明される、
ということに感心した。

Relating Field Theories via Stochastic Quantization
http://arxiv.org/abs/0903.0732
- ランジュバン方程式とかフォッカープランク方程式とかを用いて、
確率方程式と量子場を結び付けようとしている。
SLEはでてきていないので、これとSLEとを結びつけてみるのが面白そう。

Virasoro uniformization

SLEによってどのように複素構造が変形するか、
という問題意識があるのだけれど、
まずは、複素構造の変形を一般論や超越的方法ではなく、
具体的に記述している文献を当たってみる。
Hitchin Systems at Low Genera
http://eprintweb.org/S/authors/All/ga/Gawedzki/25
Hitchinの講義録「integrable systems」には、"it seems impossible to attempt to write them down explicitly. Only geometry remains."
とあるが、genusが低い場合にはなんとかなるみたいだ。
超楕円曲線が特別に扱いやすい、ということの証左なのだろう。
仮にSLEによる曲線の変形が代数的に記述できるとしたら、
超楕円曲線もしくはconicのintersecitonとして式を表して、
その係数にパラメータが入る、という形になるのだろう。

楕円曲線の場合は、
周期のPicard-Fuchs equationがブラウン運動に応じて変化する、ということになるのだろうか？

パラメータの変形が自己同型を引き起こす場合や点の移動を引き起こす場合を考慮に入れるためには、
Virasoro uniformizationをみないといけない。
これに関しては、
Geometric Realization of the Segal--Sugawara Construction
http://arxiv.org/abs/math/0301206
をみることにする。


TQFTの観点から、WZWとCheeger-Simons を理解しようとしているのが、
Locality and Integration in Topological Field Theory
http://arxiv.org/abs/hep-th/9209048
higer categoryを持ち出して抽象化される前の具体論をまずはみてみる。
Higer class field theoryやHigher Langlandsは、higher categoryがでてくるので、
心理的に抵抗感がある。

CFTでは0次元を2次元に入れてみていた。
結び目は1次元を3次元に入れてみている。
CFTがgeometric Langlandsと関係してくるなら、
結び目はどうか？
となるが、それに関しては、
Analogies between Knots and Primes, 3-Manifolds and Number Rings
http://arxiv.org/abs/0904.3399
にまとめがあった。

仮に、
Kontsevichの結び目不変量あるいはファインマン積分のグラフ展開、
と数論的な情報のグラフ展開、が結びつくとすれば、
Harer-Zagierのmoduli orbifoldのオイラー数の公式も、conceptualに理解できるはずで、
数論的にファインマンダイアグラムが定義できる状況、というものがほしくなる。