p-divisible groups その1

* (可換)有限群スキーム
- (可換)有限群は巡回群の直積になっている
- 有限群から群環を構成することができる
群環は可換代数で、
群の畳込みから定まる余積、
単位元から定まるaugmentation、
により余代数になる。
特に体上の代数の場合、代数と余代数が互いに双対になる。
- 群環から群の要素を取り出すためには、group-like elementsを取り出せばよい
- 有限群を圏の概念上に拡張したものが群対象
- 特に(可換)affine群スキームが定義される
- flat群スキームにはCartier dualityが定義される

* 有限群スキームの操作
- 圏に対する群作用
- categorical quotient
- 表現可能性
- 部分群スキーム
- 商の概念
有限群スキームが作用するaffineスキームに対して、
商は、対応する環の群作用に対する不変部分をとることに対応する。
- アーベル圏
体上の有限群スキームの圏はアーベル圏になる。
(体上でない場合は、商が表現可能でない場合もある。)


* 有限群スキームの分解
- 有限群スキームはetale群スキームと連結群スキームからなる完全系列に分けることができる
特に完全体上ではsplitする
- 定数群スキームと乗法的群スキーム
群環でのデルタ関数と定数関数を入れ替えるFourier変換を思い出すと、
定数群スキームと乗法的群スキームとが互いにCartier双対であることが納得できる。
- etale群スキーム
分離閉包上で定数群スキームになる群スキームとetale群スキームであることは同値
すなわちetale群スキームはtwisted group ringを考えることと同値
- 連結群スキーム
標数0の体上では群スキームは常にreduced。従って連結群スキームは単位元からなり同型を除いてunique。
標数pの体上ではnon-reducedな群スキームが存在する。


* 標数pの体上の有限群スキームの分類
- Frobenius、Verschiebung作用素
有限群スキームGのCartier双対(G*)に対するFrobenius作用素をVerschiebung作用素という
- FがisomorphismであることとGがetaleであることは同値
Cartier双対を取ると、
VがisomorphismであることとG*がetaleであることは同値
- 単純な有限群スキームの例
Z/lZ(l!=p) F:isomorphism V:isomorphism
Z/pZ F:isomorphism V:zero
μ_{p} F:zero V:isomorphism
α_{p} F:zero V:zero


- 完全体上の有限群スキームはtype:reduce, local(non-reduced)で分けることが出来る
G=G_{rr}⊕G_{rl}⊕G_{lr}⊕G_{ll}
と4つの成分に分解する。
GとG*のtypeを並べたもの。
- F,Vによって上記の分解の判定ができる
G:reduced-reducedとF,Vが共にisomorphismであることは同値
G:reduced-localとF:isomorphism,V:nilpotentであることは同値
G:local-reducedとF:nilpotent,V:isomorphismであることは同値
G:local-localとF:nilpotent,V:nilpotentであることは同値


* local-localの場合
- simple objectはα_{p}
- F,Vがともにzeroの場合はα_{p}の直和と同型
- finite Witt ring

まずはlocal,localでVがnilpotentの場合を記述し、
その中でFのnilpotencyに応じた部分群スキームを取る。
W:k上のWitt vectorsのなす群スキーム
W_{n}:W/V^{n}W length nのWitt vectorsのなす群スキーム
W_{n}^{m}: ker(F^{m}) in W_{n}
- W_{1}^{1}はα_{p}と同型
- G:local-local F^{m}=0,V^{n}=0ならG->W_{n}^{m}というepimorphismが存在
- Dieudonne functor
M(G):=lim Hom(G, W_{n}^{m})
(limはn,mを渡る)
とすると、
local-local typeの有限群スキームの圏は
F,Vがnilpotentなfinite lengthのleft E加群の圏と同値
(ただし、EはWitt ring上F,Vで生成され関係式の定まった非可換環)
- GのorderはM(G)のlengthから回復する


Finite group schemes
http://www.math.ethz.ch/~pink/ftp/FGS/CompleteNotes.pdf
A course on finite flat group schemes and p-divisible groups
http://www.mathi.uni-heidelberg.de/~stix/skripte/STIXfinflatGrpschemes20120918.pdf