トポロジーからのループ群

* 無限対称積と中心極限定理
中心極限定理は、平均0、有限分散の独立同分布の和の極限分布の弱収束を主張する。
一方、Dold-Thomの定理は、
空間のホモロジーが無限対称積のホモトピー群で表せることを主張する。
Symmetric products of surfaces; a unifying theme for topology and physics
(http://arxiv.org/abs/math/0408417)

リーマン面の構造は、
基本的に一次の(コ)ホモロジー群のカップ積、
あるいは周期により統制されるので、
ガウス分布とリーマン面は類似のもの、とおもいたくなる。

また、
n-simplexは[0,1]のn次対称積なので、
∞-simplexを[0,1]の無限対称積と見ることは、
path空間を考える上で興味深いと思われる。

* Witt vector
WITT VECTORS OF NON-COMMUTATIVE RINGS AND TOPOLOGICAL CYCLIC HOMOLOGY
(http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~larsh/papers/006/)
では、非可換な場合のWitt vector(この場合は環にはならない)を構成していた。
Frobenius写像、Verschiebung写像も定義される。


* ホッジ構造
Hodge　to deRham スペクトル系列のE1退化について、
代数多様体の場合には、超越的な方法とは別に、
標数pを経由して、Cartier写像を見ることで示す方法がある。
ex. de Rham complex の分解について:Deligne - Illusieの結果の紹介(Frobenius写像の可換環論への応用)
(http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/101722)

この方法は、
Non-commutative Hodge-to-de Rham degeneration via the method of Deligne-Illusie
(http://arxiv.org/abs/math/0611623)
により、
Hochshild cohomologyとCyclic cohomologyの関係
ついて、拡張された。

* 複素コボルティズム
Complex cobordism and algebraic topology
(http://arxiv.org/abs/0707.3216)
をみると、
1次元formal group lawと乗法的コホモロジーとが結びつき、
乗法的コホモロジーの親玉として、
複素コボルティズムが現れる。
formal groupの自己同型群Γは、
Aut(R((z)))の形をしている。
ここから自然にWitt環と結びつく。

1次元formal group lawのstackは、
elliptic curveの原点から作られるものを
含むため、
それに対応するコホモロジー理論
が気になってくる。

* 楕円コホモロジー
A Survey of Elliptic Cohomology
http://www-math.mit.edu/~lurie/papers/survey.pdf
では、
楕円曲線に対応するコホモロジー理論
についてのsurvey。
Derived algebraic geometryの言葉を用いている。

スキームがnon-reducedを含むことにより、近傍や交わり、特異点
の記述を透明にしたように、
higher homotopyを無限小近傍とみなすことで、
物事を透明にするようだ。

とくに5.2 Loop group representation
にある、elliptic curveが退化していく場合の扱い、
G-同変楕円コホモロジーがG-同変K理論に退化していく場合に、
Gの表現とLGの表現が結びつく、
という話が興味深い。

What precisely are $E_{\infty}$ ring spaces and $E_{\infty}$ ring spectra?
(http://arxiv.org/abs/0903.2813)
に、基本となる$E_{\infty}$ ringの解説がある。

* Topological Modular Form
Topological modular forms (aftern Hopkins, Miller, and Lurie)
(http://arxiv.org/abs/0910.5130)

楕円曲線のmoduliの大域切断が保型形式だったので、
Derived stackとしての楕円曲線のmoduliの大域切断
が何なのか気になってくるが、
それをTopological modular formと定義して、
Witten genus等との関係を説明している。

保型形式をp-adicに調べる際には
楕円曲線に付随する、p-divisible groupが役に立った。

Topological modular formの整数環上の基底や、
ヘッケ環との関係、Galois群との関係、
など、気になる。

また、楕円曲線がでてきたのは、
1次元formal group lawということからだったが、
高種数の曲線のヤコビアンからできるformal group lawと、
なんらかのコホモロジー理論を対応させて、
Derived Teichimuller空間なんていうものができると、
とっても楽しい。


* Witten genus
The Witten genus and vertex algebras
(http://arxiv.org/abs/0811.1418)

QUOTIENT OF A LOOP GROUP AND WITTEN GENUS
(http://adsabs.harvard.edu/abs/2001JMP....42.1364L)


LOG THH AND TC
(http://folk.uio.no/rognes/yff/rognes.pdf)

雑多な疑問

1. S^1^->S^3->S^2
KdVをループ空間からみると、meromorphic solutions of KdVは、
ΩU(2)->ΩS^2でパラメトライズされる。(Segal Integrable systems and inverse scattering p113)
これは、Derived alagebraic geometryの言葉でHopf fibrationとして表されるのだろうか？
ex. Loop Spaces and Connections(http://arxiv.org/abs/1002.3636)

2. elliptic KdVに対応するprobablity measureの具体形は何か？
refrectionless potentialに対応するprobablity measureとして、
n-solitonの場合は対応するOU processが具体的に構築されている。
n-solitonはcurveとしては、n点を単純特異点として張り合わせた有理曲線で、
一般ヤコビアンは(C*)^nであって、軌道の表現とグラスマン内の閉空間の表現が簡単にできた。
なので、それを変形してみたくなる。
そのままでは駄目なので、周期ポテンシャルとして変形をする必要がある。

ポテンシャルのほうで見れば、有限バンドが一つあって、一点が閉区間に伸びる変形であって、
curveは楕円曲線になる。
ポテンシャルの具体形は、当然ペー関数を極を持たないようにずらした形でかかれている。
実数上定義されているということから係数およびJ-invariantも制限されているはずで、
対応するWeyl関数と、それをHerglotz関数としてパラメトライズする測度を具体的に書き下す必要がある。
(やればできるはずなので、多分どこかですでに計算されていると思われる。)
Lyapunov spectrum of square-tiled cyclic covers
(http://arxiv.org/abs/1007.5330)
と何か関係付けられないか？

3. pathの持ち上げとガロア群の持ち上げの類似
不分岐拡大において、係数体のガロア群の作用を持ち上げることができる。
これと、1-variation pathの持ち上げを類似のものと見ると、
Lyons-liftは分岐拡大の類似とみなせる。
B_dRは、p冪で射影極限を作っていたが、p冪を積分に置き換えると、
Lyons-liftは、反復積分で射影極限を作って(非可換)環を作り、その代数を見ている、
ということになる。
p進Hodgeと類似の構成を辿って、Witt環に対応するもの、商体に対応するもの、
が存在するかどうか?が気になる。