topological recursion

複素平面内の(実一次元)analytic curveからτ関数が作られるが、
これは、τ=exp(F)なるいわゆるプレポテンシャルを与えていることになる。
疑問として、
F_{g}なる高次の量が定義できるかどうか？
というものがでてくる。
まずは、コンパクトリーマン面の場合についてみる必要がある。

Geometrical interpretation of the topological recursion, and integrable string theories
(http://arxiv.org/abs/0911.5096)
において、コンパクトリーマン面の場合では、
スペクトル曲線Sと{F_{g}}
から、Jacobian内に値を持つ写像を数え上げる対応を作っている。

CFT and topological recursion
(http://arxiv.org/abs/1006.2028)
においては、
CFTの側からLarge N展開をみている。

未読ながら興味を持った文書へのリンク

以下、未読ながら興味を持った文書へのリンク。

Random matrices and asymptotic harmonic analysis (Jacques Faraut):
(http://www.math.uni.wroc.pl/tok/lectures.php?action=5#pok_5)

Infinite Dimensional Harmonic Analysis and Probability
(http://people.math.jussieu.fr/~preprints/pdf/356.pdf)

DIRICHLET FORMS ON LOOP SPACE
(http://math.northwestern.edu/~getzler/Papers/dirichlet.pdf)

Structures of boson and fermion Fock spaces in the space of symmetric functions
(http://arxiv.org/abs/math-ph/0306077)

Mixed Hodge polynomials of character varieties
(http://arxiv.org/abs/math/0612668)

Feynman Diagrams and Lax Pair Equations
(http://arxiv.org/abs/0905.2271)

Choix des signes pour la formalité de M. Kontsevich
(http://math.univ-bpclermont.fr/~manchon/biblio/amm2000.pdf)

Exponential renormalization
(http://fr.arxiv.org/abs/1003.1679)

C*-algebras associated with integral domains and crossed products by actions on adele spaces
(http://arxiv.org/abs/0906.4903)

The Theorem of Jentzsch--Szego on an analytic curve. Application to the irreducibility of truncations of power series
(http://arxiv.org/abs/1004.3813)
Soliton equations, vertex operators, and simple singularities
(http://arxiv.org/abs/0909.4032)
Total positivity and cluster algebras
(http://arxiv.org/abs/1005.1086)

From Random Matrices to Quasiperiodic Jacobi Matrices via Orthogonal Polynomials
(http://arxiv.org/abs/math-ph/0509029)
An L2 theory for differential forms on path spaces I
(http://arxiv.org/abs/math/0612416)

A Note on Gaps of Hill’s Equation
(http://www.poschel.de/pbl/gaps-1.pdf)

Geometric Weil representation: local field case
(http://arxiv.org/abs/0705.4213)

Weil representation, Howe duality, and the theta correspondence
(http://www.math.tifr.res.in/~dprasad/)

Infinite-dimensional vector bundles in algebraic geometry
(http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands.html)

Convolution symmetries of integrable hierarchies, matrix models and $\tau$-functions
(http://arxiv.org/abs/0901.0323)
* Paugam lecture
http://www.math.jussieu.fr/~fpaugam/documents/enseignement/master-mathematical-physics.pdf

* Dubrovin lectures
- http://www.math.tu-berlin.de/geometrie/GI08/slides/Mertens.pdf
- Integrable Systems and Riemann Surfaces
http://people.sissa.it/~dubrovin/rsnleq_web.pdf
- 2D Topological Field Theory and Integrable Systems
http://www.lpta.univ-montp2.fr/users/terras/EUCLIDschool/lecture1.pdf
and
- Workshop on Geometry and Physics of the Landau-Ginzburg model
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~chiodo/abstracts.htm

analytic curveのtau関数

$\tau$-function for analytic curves
(http://arxiv.org/abs/hep-th/0005259)
には、C-単連結領域のグリーン関数の展開から初めて、analytic curveに付随するτ関数と、
Schwarz関数、Symplectic構造が記述されていた。

Free bosons and tau-functions for compact Riemann surfaces and closed smooth Jordan curves I. Current correlation functions
(http://arxiv.org/abs/math/0102164)
では、上記のτ関数を、KNTYのτ関数と比較して、CFTの立場から系統的に記述している。
この論文のIntroductionの内容は、
(代数的整数論からリーマン面、代数曲線という順序で学習した個人的な経緯からも)
しっくりくる内容。
経路積分で記述した内容と、それと等価であるが数学的にきちんと定義した内容が、
併記されている点に、
Diracのδ関数を自由に使えなかった時代と同等のもどかしさ、が現れている。

さらに、C1級のJordan曲線に対して、同様のτ関数を定義しているのが、
Conformal Mappings and Dispersionless Toda hierarchy
(http://arxiv.org/abs/0905.3599)
になる。
2次元戸田場、に制約条件がついたもの、として捉える必要があるようだ。

以上のことから、次のような夢想をして見る。
Higgs束のmoduliはrelative Grassmannianに埋め込むことができ、
KP-flowをこの部分に制限すると、Hitchin-integrable systemになる。
(Hitchin integrable systems, deformations of spectral curves, and KP-type equations(http://arxiv.org/abs/0801.0015))
だから、安直には、universal teichmuller空間におけるKP-flowは、
無限種数のRiemann面のHitchin integrable flowを定める、と思いたく、
そうすると、軌道はJacobian、すなわち、Hilbert空間をlatticeで割ったもの、
ということになるから、これをWiener空間のCameron-Martin空間からの商空間、とみなしたくなる。
すなわち、抽象Wiener空間の族があって、Cameron-Martin空間の入り方が佐藤グラスマン内の超平面の入り方と対応するような状況があってほしい。

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Whittaker-Hill equation and semifinite-gap Schroedinger operators
(http://arxiv.org/abs/0906.1697)
にsemifinite-gapのHill方程式の計算例があった。
肩のこらない計算で、楽しい。