2015年7月30日木曜日

標数0の体上のoper

類似

p-divisible groupとHeisenberg代数のFock表現はどことなく似ている。
  • 逆極限 Tate加群 多項式環
  • 順極限 Formalベクトル空間 超函数のなす代数
  • p=FV倍 微分
さらに、Frobenius作用素と微分作用素が対応すると思えるから、 
Frobenius作用素の持ち上げと量子化が対応する、と思える。 
すると、Virasoro代数、W代数に対する、p進での類似物はなにか? 
という問題意識が出てくる。 
また、 
local Shtukaとfactorization algebraの定式化はどこまで類似しているのか? 
共形不変性に対応するp進側の不変性は局所体のGalois群に対する対称性でよいのか? 
という点が気になる。

変形量子化

量子化に伴う代数的な操作を列挙してみる。
Lie環Lie括弧の存在
Poisson代数Poisson括弧の定義された可換代数Lie環の構造も持つ
Hamiltonian還元Poisson代数Poisson代数とinvolutive idealにより定義される
普遍包絡環結合代数Lie環から構成できる
中心可換代数結合代数、Lie代数に対して定義できる
Lie環の普遍包絡環の次数商として定義されるPoisson代数に対して、 
その標準的な変形量子化を取ると、普遍包絡環になる。
頂点代数に対しても、同様の操作が存在する。
頂点代数(V,|0>,T,Y)
可換頂点代数微分可換環と同値になる
Lie代数Lie括弧の存在頂点代数からU(V)=V⊗C((t))/Im∂で構成できる
頂点Lie代数(L,T,Y−)頂点代数からpolar partを取って構成できる
(局所)Lie代数Lie代数頂点Lie代数からLie(L)=L⊗C((t))/Im∂で構成できる
頂点Poisson代数(V,|0>,T,Y+,Y−)で、可換頂点代数と頂点Lie代数の整合した構造を持つ可換頂点代数の変形から構成でき、逆に頂点Poisson代数の変形として頂点代数を構成できる
頂点代数の普遍包絡環結合代数Lie代数U(V)の普遍包絡環の完備化として定義される
頂点代数の中心state-field対応によるfieldが可換になるようなstateからなる可換頂点代数
頂点代数の普遍包絡環の中心可換代数
Zhu代数結合代数次数付き頂点代数VからA(V)=V/O(V)として定義され、(次数付き)単純V加群の同型類と単純A(V)加群の同型類に対応が付く
量子BRST還元

oper

G:半単純代数群として、 
G-operに対して、特異点、極、留数の概念が定義できる。 
単位円盤D=Spec(C[[t]])に対して、 
OpG(D): D上のG-opers 
が定義される。 
原点における極は、Borel部分群による共役により標準形にすることで定義される。 
穴あき単位円盤D×=Spec(C((t)))に対して、 
OpG(D×):D×上のG-opers 
が定義される。 
特に、確定特異点の概念が定義でき、 
OpRSG(D):原点に確定特異点を持つD上のG-opers 
が定義される。 
留数 res:OpRSG(D)→h/W 
が定義される。 
更に、原点に確定特異点を持つG-operの中で、 
留数h/Wよりも細かくn/Bの値で特徴付けられる、nilpotent G-opersが定義できる。

文献

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