CFTは共形不変な場であって、場の理論としての変形は、共形不変からのずれを意味する。
共形不変な場における局所演算子は、変形された場における離散的な空間上の変数が繰り込まれたもの、ということになる。
An Introduction to the Stochastic Loewner Evolution
http://www.math.duke.edu/~jose/esi.pdf
に、共形不変性について、別の立場から見た解説があった。
ではSLEとCFTとの関係はどうなの？
という素朴な問いかけには、
On Malliavin measures, SLE and CFT
http://arxiv.org/abs/math-ph/0609056
があった。
また、
On Connections of Conformal Field Theory andStochastic Loewner Evolution
http://arxiv.org/PS_cache/math-ph/pdf/0410/0410029v1.pdf
で、背景知識も含めて説明されている。
では、佐藤グラスマン多様体の中でこれらの変形を記述できるだろうか？
この話の有限体上の類似物はあるだろうか？
という疑問が当然わいてくる。
2008年12月24日水曜日
2008年12月15日月曜日
フーリエ変換、戸田模型、幾何学的ラングランズ対応
Griffithsによるlinealization flowsの論文は手に入らないので、
http://www.dima.unige.it/~bartocci/gfabstracts/ge-int.pdf
を参照することにする。
Lax方程式と固有ベクトル写像の関係、さらにJacobian多様体における積分曲線について、
戸田模型を参考にして理解することにする。
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0111/0111260v1.pdf
にGiventalの量子コホモロジーのなかで現れたflag varietyと戸田模型の関係が、
affineの場合に説明されている。
これは、幾何学的ラングランズ対応の際に現れたD-module(Hitchinハミルトニアンの量子化として定義される)と量子コホモロジーから定義される量子D-Moduleの対応をmiura対応によって説明している。Guest-Otofujiの方法とあわせて調べてみる必要がある。
さらに、flag varietyについては、Laumonによるコンパクト化がある。これは、幾何学的Eisenstein層のために使用されていたmoduliで、それを
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0811/0811.4454v1.pdf
でcologero系と関連付けている。
量子コホモロジー環におけるJ-関数の位置づけを理解する必要がある。
http://arxiv.org/abs/0809.0180
(Local Fourier transform and epsilon factors)
で、Laumonのフーリエ変換を用いてＬ関数のε因子の計算をしている。
元になるstatinary phaseについての考え方やフーリエ変換の定義に関する論文は、
http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1987-1988__30__105_0
からたどれる、
Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionelles et conjecture de Weil。
Sabbahの本にD-Moduleの場合のlocal-Fourier変換がでていたので、
l-adic層とD-moduleと双方を理解する必要がある。
というのも、localに考えると、Fourie変換はWely-algebraの座標と微分を交換する変換だが、
http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/spectral2008.pdf
HITCHIN INTEGRABLE SYSTEMS, DEFORMATIONS OFSPECTRAL CURVES, AND KP-TYPE EQUATIONS
のなかで、
"Note that Sato Grassmannians are constructed from pseudo-differential operators. We will show, using Abel's theorem, that the Serre duality is simply the formal adjoint operation on the pseudo-differential operators."
と書かれていたが、擬微分作用素のadjointがSerre dualityなら、フーリエ変換はなんだろう？
と疑問がでるから。
幾何学的ラングランズ対応の枠組みでは、GL(1)の場合にヘッケ固有層を作成するのにFourier-Mukai変換を縦横に使いまくっているようだし、分岐が絡む場合に理解しておく必要があるだろう(E.Frenkelの概説参照)
とくに、これをもとにして、Hitchin hamiltonianで分岐の場合を理解したい。
また、
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0602/0602032v2.pdf
(A FUNCTORIAL CONSTRUCTION OFMODULI OF SHEAVES)
には、moduli spaceの埋め込み(theta関数!)をquiverの言葉で実行している。
これとcurveの場合のHiggs場の埋め込みとどう関連するかも面白そうなところ。
Ringel-Hall代数は、三角行列を生成するので、比喩的には、abel圏のRiemann-Hilbert問題をとく1st stepとみなせる。
Segal-Wilsonのグラスマン多様体では、S1上の関数で円盤内で正則、または無限円で正則という形で三角分解しているが、大きな枠組みでアーベル圏のグラスマン多様体をRingel-Hall代数で書き表せるだろうか？
この場合にはYoungタブローはもっと複雑なmoduliのcell decompositionの言葉で記述されることになるだろう。
上記論文はそんな形で理解できないだろうか？
http://www.dima.unige.it/~bartocci/gfabstracts/ge-int.pdf
を参照することにする。
Lax方程式と固有ベクトル写像の関係、さらにJacobian多様体における積分曲線について、
戸田模型を参考にして理解することにする。
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0111/0111260v1.pdf
にGiventalの量子コホモロジーのなかで現れたflag varietyと戸田模型の関係が、
affineの場合に説明されている。
これは、幾何学的ラングランズ対応の際に現れたD-module(Hitchinハミルトニアンの量子化として定義される)と量子コホモロジーから定義される量子D-Moduleの対応をmiura対応によって説明している。Guest-Otofujiの方法とあわせて調べてみる必要がある。
さらに、flag varietyについては、Laumonによるコンパクト化がある。これは、幾何学的Eisenstein層のために使用されていたmoduliで、それを
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0811/0811.4454v1.pdf
でcologero系と関連付けている。
量子コホモロジー環におけるJ-関数の位置づけを理解する必要がある。
http://arxiv.org/abs/0809.0180
(Local Fourier transform and epsilon factors)
で、Laumonのフーリエ変換を用いてＬ関数のε因子の計算をしている。
元になるstatinary phaseについての考え方やフーリエ変換の定義に関する論文は、
http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1987-1988__30__105_0
からたどれる、
Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionelles et conjecture de Weil。
Sabbahの本にD-Moduleの場合のlocal-Fourier変換がでていたので、
l-adic層とD-moduleと双方を理解する必要がある。
というのも、localに考えると、Fourie変換はWely-algebraの座標と微分を交換する変換だが、
http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/spectral2008.pdf
HITCHIN INTEGRABLE SYSTEMS, DEFORMATIONS OFSPECTRAL CURVES, AND KP-TYPE EQUATIONS
のなかで、
"Note that Sato Grassmannians are constructed from pseudo-differential operators. We will show, using Abel's theorem, that the Serre duality is simply the formal adjoint operation on the pseudo-differential operators."
と書かれていたが、擬微分作用素のadjointがSerre dualityなら、フーリエ変換はなんだろう？
と疑問がでるから。
幾何学的ラングランズ対応の枠組みでは、GL(1)の場合にヘッケ固有層を作成するのにFourier-Mukai変換を縦横に使いまくっているようだし、分岐が絡む場合に理解しておく必要があるだろう(E.Frenkelの概説参照)
とくに、これをもとにして、Hitchin hamiltonianで分岐の場合を理解したい。
また、
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0602/0602032v2.pdf
(A FUNCTORIAL CONSTRUCTION OFMODULI OF SHEAVES)
には、moduli spaceの埋め込み(theta関数!)をquiverの言葉で実行している。
これとcurveの場合のHiggs場の埋め込みとどう関連するかも面白そうなところ。
Ringel-Hall代数は、三角行列を生成するので、比喩的には、abel圏のRiemann-Hilbert問題をとく1st stepとみなせる。
Segal-Wilsonのグラスマン多様体では、S1上の関数で円盤内で正則、または無限円で正則という形で三角分解しているが、大きな枠組みでアーベル圏のグラスマン多様体をRingel-Hall代数で書き表せるだろうか？
この場合にはYoungタブローはもっと複雑なmoduliのcell decompositionの言葉で記述されることになるだろう。
上記論文はそんな形で理解できないだろうか？
2008年12月8日月曜日
くりこみとEuler系
connesの非可換幾何学とmotivesについての本に、
Bost-Connesシステムの説明があった。
そこでは、ゼータ関数を分配関数とするような量子統計場(あるいはC*環とKMS条件を満たす時間発展の組)
が定義されていた。
定義中に出てくる条件が、スケール変換にみえるので、
くりこみによる不動点が、おそらくアーベル拡大になるのだろう。
Connesの本では、非可換幾何的な対象、すなわちC*環を用いて、等分点からアーベル拡大を具体的に構成する(ManinのReal-Multiplication)という目的が述べられていた。
ここで、当然気になる疑問は、
Euler系(あるいはKolyvagin系)のcompatibilityに関する条件、
は、くりこみにおけるスケール変換とみなせるのでは？
というもの。
繰りこみ変換群によって、最終的に不動点にたどり着く、
すなわち臨界値の詳細がわかる、
という対応を夢想すれば、
例えば岩澤理論やゼータの特殊値の説明に使われるEuler系はすべて、C*環におけるくりこみの条件として説明がつくのではないだろうか？
真面目にやろうとすると、
1)まずは関数体でのC*環をみる
2)Drinfel'dのElliplic-modulesによりC*環を構成する
3)Drinfel'd modular varietyのEuler系を構成する
4)両者の対応を確かめる
5)非可換幾何の対応物が何かを確かめる
6)くりこみに使用するべき理論の摂動に対応するものが何かを確かめる
7)くりこみ理論を関数体の場合に確立する(まずはアーベル、次にGL2、それからboundaryへの極限操作を類推して一般論)
があって、
ここから、数体の場合、あるいはp-adic、Λ-adicな場合の類似を探す、
ということになるのだろうか？
数体の場合は、Gl1,Gl2はともかく、そこから帰納的に作成していくべき非可換幾何の対応物がなさそうなので、どうなるのだろうか？
Bost-Connesシステムの説明があった。
そこでは、ゼータ関数を分配関数とするような量子統計場(あるいはC*環とKMS条件を満たす時間発展の組)
が定義されていた。
定義中に出てくる条件が、スケール変換にみえるので、
くりこみによる不動点が、おそらくアーベル拡大になるのだろう。
Connesの本では、非可換幾何的な対象、すなわちC*環を用いて、等分点からアーベル拡大を具体的に構成する(ManinのReal-Multiplication)という目的が述べられていた。
ここで、当然気になる疑問は、
Euler系(あるいはKolyvagin系)のcompatibilityに関する条件、
は、くりこみにおけるスケール変換とみなせるのでは？
というもの。
繰りこみ変換群によって、最終的に不動点にたどり着く、
すなわち臨界値の詳細がわかる、
という対応を夢想すれば、
例えば岩澤理論やゼータの特殊値の説明に使われるEuler系はすべて、C*環におけるくりこみの条件として説明がつくのではないだろうか？
真面目にやろうとすると、
1)まずは関数体でのC*環をみる
2)Drinfel'dのElliplic-modulesによりC*環を構成する
3)Drinfel'd modular varietyのEuler系を構成する
4)両者の対応を確かめる
5)非可換幾何の対応物が何かを確かめる
6)くりこみに使用するべき理論の摂動に対応するものが何かを確かめる
7)くりこみ理論を関数体の場合に確立する(まずはアーベル、次にGL2、それからboundaryへの極限操作を類推して一般論)
があって、
ここから、数体の場合、あるいはp-adic、Λ-adicな場合の類似を探す、
ということになるのだろうか？
数体の場合は、Gl1,Gl2はともかく、そこから帰納的に作成していくべき非可換幾何の対応物がなさそうなので、どうなるのだろうか？
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