2012年5月29日火曜日
クラスタリング
http://www.math.psu.edu/petrunin/papers/alexandrov/bbi.pdf
距離空間には、
Euclid空間への埋め込みに対して、
内在的に定まる距離(intrinsic)と
埋め込みに依存する距離(extrinsic)がある。
有限距離空間のisometry類の集合上の距離として、
Gromov-Hausdorff距離が定義できる。
これはcorrespondenceに対応する点対の距離の差により算出される。
* point could dataの解析
point cloudは点の集まりであるが、それに付随して、
データに内在する距離(intrinsic metric)と
データの観測に伴う距離(extrinsic metric)
により、距離空間とユークリッド空間への埋め込みが与えられている、
とみることができる。
point cloud dataの例として、
複数の都市に存在する人間の位置をすべて記録したものを想像してみる。
高い密度で都市に集中し、それよりも少ない密度で都市間の交通網上に存在しているはずだ。
point cloud dataから都市を推定することがクラスタリングと呼ばれる技法であり、
交通網を捉えるための技法が、Persistent homologyになる。
つまり、対象の粗視化、という操作を取り入れて、トポロジーの計算手法を応用しよう、
というもの。
* クラスタリング
point cloud dataを解析するために、荒い分類を行う、
すなわち粗視化のスケールを変えながら連結成分に分ける、という操作を行う。
これを(階層化)クラスタリングと呼ぶわけだが、
Classifying Clustering Schemes
http://arxiv.org/abs/1011.5270
では、
まず、理想的なクラスタリングアルゴリズムは存在しない、というKleinbergの定理に言及して、
その定理の仮定を緩めて、ある性質を満たすクラスタリングアルゴリズムは唯一存在する、
という定理を示している。
(数学の応用としては、
最善のものは存在しない、という形で限界を示し、
限界から少し条件を緩めたものの存在を構成的に示す、
という形のフレームワークは非常に有効なもので、
シャノンによる通信の符号化
もその一例とみることができる。)
point cloudの分割は、point cloudを有限集合と見た時、
有限集合に対して位相開基を与えることと同等である。
いわゆる有限空間と呼ばれるものであるが、
この位相は、密着位相と離散位相の間で、半順序をなす。
クラスタリングは粗視化のスケールを変えて分割を変更するものであるから、
位相開基の減少フィルトレーションが必要である。
この半順序を取り出す位相開基の減少フィルトレーションを定めると、
それに対応して木構造、いわゆる、デンドログラムというものになる。
そこで、有限集合とその位相開基の右連続減少フィルトレーションの組で、
先頭が必ずしも離散位相ではないが最後は密着位相となるものを
persistent setと呼ぶ。
なお、point cloudが距離空間の構造を持っている時、距離から定まる位相は点を分離するので、
クラスタリングが定める位相はそれよりも弱い。
クラスタリングのアルゴリズムとは、
有限距離空間を対象、しかるべき条件を満たす距離空間の写像を射とする圏から
persitent setsの圏への関手、
として定義される。
入力の有限距離空間の射の条件として、
iso:isometry
inj:距離が非増大の単射
gen:距離が非増大
という３種類について考察されている。
よく知られているk-means法は、どの入力の圏に対しても
関手の意味でのクラスタリングアルゴリズムを与えない。
(ex. Persistent Clustering and a Theorem of J. Kleinberg 4.1
http://arxiv.org/abs/0808.2241)
クラスタリングのあるスケールによって定まる分割に対して、クラスタリングを行っても、
そのスケールでは分割が変化しないことが望ましい。
この冪等性の性質をexcisivenessと呼ぶ。
標準的なクラスタリング関手として、Vietoris-Rips関手がある。
これは、2点からなる距離空間によって表現されている、と見なすことができ、
その拡張として、有限距離空間の集合によって表現可能な関手が定義される。
(Def6.3)
上記論文では、(階層化でない)分割の場合にexcisiveクラスタリングアルゴリズムは表現可能と同値
であることを示している。(Th6.2)
Th7.2では、入力の圏がgenの場合に、クラスタリングアルゴリズムに、
Vietoris-Rips関手が対応することを示している。
* クラスタリングのstability
クラスタリングを行う元のpoint cloud dataは、
サンプリング結果として、確率的、不完全、という性質を持っている。
そのため、
クラスタリングアルゴリズムには、安定性が必要となるわけだが、
そのために、入力の圏の対象の距離を測る道具として、
Gromov-Hausdorff距離を使用することができる。
(Persistent Clustering and a Theorem of J. Kleinberg section 5)
* 形の把握
Gromov-Hausdorff Stable Signatures for Shapes using Persistence
http://math.stanford.edu/~memoli/papers/dgh-persistence.pdf
point cloudの形を把握するには、単純なホモロジーでは点の数しか出てこないので、
粗視化のスケールを変えて特徴を取り出す必要がある。
それがpersistencyということになる。
2つのpoint cloudの距離を測るのに、point cloudに内在的な距離および埋め込みによる距離を与えて、
距離空間間の距離、すなわちGromov-Hausdorff距離により、形の相違を測る。
この距離を下から評価するために、persistencyの結果が利用できる。
すなわち、filtered Rips complexを定義して、
それから得られるpersistent diagramを、point cloudに対して対応させる。
2つのpersistent diagramsをbottleneck distanceを使用して距離を測った結果が
Gromov-Hausdorff距離で抑えられる。
(Th3.1)
Spectral Gromov-Wasserstein Distances for Shape Matching
http://math.stanford.edu/~memoli/papers/dgw-spec-nordia-theo.pdf
2012年5月24日木曜日
Faber多項式
LATTICE PATHS AND FABER POLYNOMIALS
http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/faber.pdf
重み付けで解釈することにより、
Faber polynomialをlattice pathの数え上げとして確認している。
Analytic functions and integrable hierarchies-characterization of tau functions
http://arxiv.org/abs/hep-th/0305005v2
Faber多項式、Grunsky行列の整理された記述と、
それを用いて、無分散戸田格子のτ関数の記述を行っている。
Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space II. Kahler potential and period mapping
http://arxiv.org/abs/math/0406408v1
の
6.2. Embeddings into the Segal-Wilson universal Grassmannian
では、リーマン面からconformal weldingを構成し、
リーマン面の周期をFaber多項式(Grunsky行列)を用いて記述していた。
無分散可積分系と関数論
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1541-12.pdf
にあるように、
Grunsky行列はLowner方程式に関係している。
Q1:
では、スペクトル曲線を与えて、そこからtopological recursionによるinvariantsを計算する際に、
(g,n)=(0,2)ででてくる無分散戸田格子(x=z+1/zの場合)は、どのようにconformal weldingと関係しているのだろうか？
Q2:
スペクトル曲線として実構造を持つ超楕円曲線の場合、判別式からなるFloquet指数が、conformal weldingを生成する。
これは上半平面から固有値に対応するslitを除いたものに対応し、slitを変形して消失させる等角写像が、
Lowner方程式で、それが無分散戸田に対応する、と解釈できるのだろうか？
その場合、topological recursionによる分配関数の計算は高種数の項も含んでいる。
これを全部あわせて、スペクトル曲線に対応するτ関数となり、
(無分散極限は古典極限)
τ関数に対応する佐藤グラスマンへの埋め込みが、conformal weldingから定まるタイヒミュラー空間からの写像となる、
という理解で正しいのだろうか?
Q3:
スペクトル曲線に対応する代数関数のアーベル拡大の極限をとると、代数曲線のmoduli上ではうまく極限が存在しないが、
普遍タイヒミュラー空間においては、極限がlaminationという形で存在する。
(ex. UNIVERSAL HODGE BUNDLE AND MUMFORD ISOMORPHISMS ON THE ABELIAN INDUCTIVE LIMIT OF TEICHMU ̈LLER SPACES
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9406003)
では、この極限のリーマン面の周期を具体的に計算できるか?
Q4:
射影直線の場合に、
The equivariant Gromov-Witten theory of P^1
http://arxiv.org/abs/math/0207233v1
で計算されているGW-invariantsを、
スペクトル曲線のinvariantsとして計算できるか?
Gromov-Witten invariants of $\bp^1$ and Eynard-Orantin invariants
http://arxiv.org/abs/1106.1337v2
では、yがlog(z)の形になっているが、これはどのように理解するべきか?
Q5:
トーリック曲面の場合、ブレーンタイリングは、スペクトル曲線のアーベル拡大の極限に対応するのか?
(ex. http://www.princeton.edu/~masahito/files/2007/Kanazawa070601.pdf)
Q6:
Computation of open Gromov-Witten invariants for toric Calabi-Yau 3-folds by topological recursion, a proof of the BKMP conjecture
http://arxiv.org/abs/1205.1103v1
の、
4.9.2Renormalizing edges
の議論は、無分散極限の話に対応するのか?
Q6:
Ito-Nisioの定理により、Wiener空間のCameron-Martin空間は、普遍タイヒミュラー空間の正規分布によるbase change
とみなすことができる。
では、スペクトル曲線が実構造を持っていて、Floquet指数から定まる等角写像を、
それぞれのslitごとにブラウン運動をおくことによってえられるSLEは、どのような意味があるのだろうか?
また、固有値の区間が分かれているので、non-intersection Brownian motionとも見なせるが、
Macdonald processの場合に、対応するトーリックカラビヤウ3-foldのmirror curveから定まるSLE
を具体的に計算することができ、元のprocessと比較できるか?
http://people.brandeis.edu/~gessel/homepage/papers/faber.pdf
重み付けで解釈することにより、
Faber polynomialをlattice pathの数え上げとして確認している。
Analytic functions and integrable hierarchies-characterization of tau functions
http://arxiv.org/abs/hep-th/0305005v2
Faber多項式、Grunsky行列の整理された記述と、
それを用いて、無分散戸田格子のτ関数の記述を行っている。
Weil-Petersson metric on the universal Teichmuller space II. Kahler potential and period mapping
http://arxiv.org/abs/math/0406408v1
の
6.2. Embeddings into the Segal-Wilson universal Grassmannian
では、リーマン面からconformal weldingを構成し、
リーマン面の周期をFaber多項式(Grunsky行列)を用いて記述していた。
無分散可積分系と関数論
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1541-12.pdf
にあるように、
Grunsky行列はLowner方程式に関係している。
Q1:
では、スペクトル曲線を与えて、そこからtopological recursionによるinvariantsを計算する際に、
(g,n)=(0,2)ででてくる無分散戸田格子(x=z+1/zの場合)は、どのようにconformal weldingと関係しているのだろうか？
Q2:
スペクトル曲線として実構造を持つ超楕円曲線の場合、判別式からなるFloquet指数が、conformal weldingを生成する。
これは上半平面から固有値に対応するslitを除いたものに対応し、slitを変形して消失させる等角写像が、
Lowner方程式で、それが無分散戸田に対応する、と解釈できるのだろうか？
その場合、topological recursionによる分配関数の計算は高種数の項も含んでいる。
これを全部あわせて、スペクトル曲線に対応するτ関数となり、
(無分散極限は古典極限)
τ関数に対応する佐藤グラスマンへの埋め込みが、conformal weldingから定まるタイヒミュラー空間からの写像となる、
という理解で正しいのだろうか?
Q3:
スペクトル曲線に対応する代数関数のアーベル拡大の極限をとると、代数曲線のmoduli上ではうまく極限が存在しないが、
普遍タイヒミュラー空間においては、極限がlaminationという形で存在する。
(ex. UNIVERSAL HODGE BUNDLE AND MUMFORD ISOMORPHISMS ON THE ABELIAN INDUCTIVE LIMIT OF TEICHMU ̈LLER SPACES
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9406003)
では、この極限のリーマン面の周期を具体的に計算できるか?
Q4:
射影直線の場合に、
The equivariant Gromov-Witten theory of P^1
http://arxiv.org/abs/math/0207233v1
で計算されているGW-invariantsを、
スペクトル曲線のinvariantsとして計算できるか?
Gromov-Witten invariants of $\bp^1$ and Eynard-Orantin invariants
http://arxiv.org/abs/1106.1337v2
では、yがlog(z)の形になっているが、これはどのように理解するべきか?
Q5:
トーリック曲面の場合、ブレーンタイリングは、スペクトル曲線のアーベル拡大の極限に対応するのか?
(ex. http://www.princeton.edu/~masahito/files/2007/Kanazawa070601.pdf)
Q6:
Computation of open Gromov-Witten invariants for toric Calabi-Yau 3-folds by topological recursion, a proof of the BKMP conjecture
http://arxiv.org/abs/1205.1103v1
の、
4.9.2Renormalizing edges
の議論は、無分散極限の話に対応するのか?
Q6:
Ito-Nisioの定理により、Wiener空間のCameron-Martin空間は、普遍タイヒミュラー空間の正規分布によるbase change
とみなすことができる。
では、スペクトル曲線が実構造を持っていて、Floquet指数から定まる等角写像を、
それぞれのslitごとにブラウン運動をおくことによってえられるSLEは、どのような意味があるのだろうか?
また、固有値の区間が分かれているので、non-intersection Brownian motionとも見なせるが、
Macdonald processの場合に、対応するトーリックカラビヤウ3-foldのmirror curveから定まるSLE
を具体的に計算することができ、元のprocessと比較できるか?
2012年5月20日日曜日
スペクトル曲線のinvariants
簡単な場合にtopological recursionを確認してみたい。
幾何学的な背景として、
Geometrical interpretation of the topological recursion, and integrable string theories
http://arxiv.org/abs/0911.5096v1
では、S=(C,x,y,B):スペクトル曲線のJacobianへのworldsheetの写像、
という形でtopological recursionの式の同値な意味付けをしている。
そこで、(generalized)Jacobianが一番簡単になる場合として、
射影直線を2点でくっつけた場合、すなわち楕円曲線が退化した場合を見る。
そのために、射影直線の2重被覆をとるが、
可積分系、有理関数の複素力学系、ランダム行列でなじみ深い、
x(z)=z+1/z
y(z)=-z
をとる。
これは、単位円周を[-2,2]に2重に移す有理写像で、z=1,-1が分岐点。
(generalized)Jacobian Jは{0,∞}を除いた部分になり、半径と角度がflat coordinatesであり、
D-branesの運動は、単位円周上の円弧の角度成分を保った拡大縮小になる。
worldsheetΣからJへの写像が上記論文のDefinition4.1および分岐の条件を満たすとすると、
pants分解によって分解される部分は、
cylinderは原点中心の円環、
pair of pantsは1,-1を結ぶ二つの円弧と単位円周を外側と内側でつないでえられるもの、
と解釈される。
すなわち、Σは射影直線の分岐被覆で、{0,1,∞}のみで分岐し、
1での分岐度は2である必要があり、
Belyiの定理が使用でき、数体上定義された代数曲線になる。
(Belyiの定理自体は、
ガロア・タイヒミュラー群のLEGO理論
http://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/744/1/65.pdf
にあるように、命題が正しいと解れば証明は難しくない)
worldsheetの長さの条件部分は変化させることができるので消え、
0,∞での分岐状態を指定するパラメータ(整数)が残る。
さらに、このpants分解のskelton graphsはJacobianにおける[0,1]の逆像で与えられ、
dual graphはdessin d'enfantsのgraphになる。
topological recursionをworldsheetsのmoduliの状態和(4-2)のLaplace変換、
として理解すると、
上記のスペクトル曲線の場合は、
dessin d'enfantsの個数の(整数値)Laplace変換となる。
topological recursionにおいて求めなければならない量は、
- prepotential
- log determinant of a Laplacian
そのため、初期値として、unstableな場合、すなわち、(g,n)=(0,1),(0,2)
の場合を見る必要がある。
上記のスペクトル曲線では、対応する可積分系は、周期的戸田格子であり、
運動量が0の場合は、
固有値は1の冪根の実部(z+1/z)で、対応する判別式はTschebysheff多項式になる。
(1のN乗根をとり、その実部を射影すると、N->∞で[-2,2]を埋める。)
また、行列模型として、GUEが対応する。
そのポテンシャル関数は単純な2次単項式であり、
時間発展はポテンシャルの高次摂動に対応する。
Combinatorics of the dispersionless Toda hierarchy
http://shell.cas.usf.edu/~wma3/NMMP-Xinjiang-2009_files/Xinjiang2-dToda.pdf
に、Catalan数を用いた(g,n)=(0,1)の記述と、dispersionless Todaによる
(g,n)=(0,2)の記述がある。
The spectral curve of the Eynard-Orantin recursion via the Laplace transform
http://arxiv.org/abs/1202.1159v1
で、その記述を用いて、具体的にtopological recursionの式を、
4. The Laplace transform of the number of dessins and ribbon graphs
で、Bergman kernelの記述とともに書いている。
そこでは、{1,-1}を{0,∞}に移した変数で記述している。
topological recursionで定まるinvariantsは、
- スペクトル曲線(幾何)
- 可積分系
- 行列模型
- string theory
に関連する。
* 行列模型->スペクトル曲線
From Random Matrices to Geometry: the "topological recursion"
http://www.brunel.ac.uk/__data/assets/pdf_file/0012/41070/eynard.pdf
では、large N expansionのleading termの確率測度のStieljes変換として、
スペクトル曲線の(x,y)を復元している。
この場合に、Bergmann kernelを決めるのは、
2点相関関数になる。(すなわち、正則1形式の基底を固定する情報がある。)
* スペクトル曲線->可積分系
Geometry of spectral curves and all order dispersive integrable system
http://arxiv.org/abs/1110.4936v1
では、
代数的なスペクトル曲線から、Lax pairsを復元している。
* string-theory->行列模型
Random Matrices and topological strings
http://www.blau.itp.unibe.ch/Eynard.pdf
toric Calabi-Yau 3-foldの場合に、行列模型が構成でき、
そのスペクトル曲線がmirror curveに対応することを説明している。
* 基本的なスペクトル曲線
GUEのuniversalityとしてAiry curveがでてくるが、
これは1点でのみ分岐するスペクトル曲線として基本的なものになる。
では、1点分岐の条件の下で、invariantsが何を示しているか、というと、
Intersection numbers of spectral curves
http://arxiv.org/abs/1104.0176v3
で、invariantsを具体的、すなわち代数曲線のmoduli上の積分で表している。
幾何学的な背景として、
Geometrical interpretation of the topological recursion, and integrable string theories
http://arxiv.org/abs/0911.5096v1
では、S=(C,x,y,B):スペクトル曲線のJacobianへのworldsheetの写像、
という形でtopological recursionの式の同値な意味付けをしている。
そこで、(generalized)Jacobianが一番簡単になる場合として、
射影直線を2点でくっつけた場合、すなわち楕円曲線が退化した場合を見る。
そのために、射影直線の2重被覆をとるが、
可積分系、有理関数の複素力学系、ランダム行列でなじみ深い、
x(z)=z+1/z
y(z)=-z
をとる。
これは、単位円周を[-2,2]に2重に移す有理写像で、z=1,-1が分岐点。
(generalized)Jacobian Jは{0,∞}を除いた部分になり、半径と角度がflat coordinatesであり、
D-branesの運動は、単位円周上の円弧の角度成分を保った拡大縮小になる。
worldsheetΣからJへの写像が上記論文のDefinition4.1および分岐の条件を満たすとすると、
pants分解によって分解される部分は、
cylinderは原点中心の円環、
pair of pantsは1,-1を結ぶ二つの円弧と単位円周を外側と内側でつないでえられるもの、
と解釈される。
すなわち、Σは射影直線の分岐被覆で、{0,1,∞}のみで分岐し、
1での分岐度は2である必要があり、
Belyiの定理が使用でき、数体上定義された代数曲線になる。
(Belyiの定理自体は、
ガロア・タイヒミュラー群のLEGO理論
http://eprints.lib.hokudai.ac.jp/dspace/bitstream/2115/744/1/65.pdf
にあるように、命題が正しいと解れば証明は難しくない)
worldsheetの長さの条件部分は変化させることができるので消え、
0,∞での分岐状態を指定するパラメータ(整数)が残る。
さらに、このpants分解のskelton graphsはJacobianにおける[0,1]の逆像で与えられ、
dual graphはdessin d'enfantsのgraphになる。
topological recursionをworldsheetsのmoduliの状態和(4-2)のLaplace変換、
として理解すると、
上記のスペクトル曲線の場合は、
dessin d'enfantsの個数の(整数値)Laplace変換となる。
topological recursionにおいて求めなければならない量は、
- prepotential
- log determinant of a Laplacian
そのため、初期値として、unstableな場合、すなわち、(g,n)=(0,1),(0,2)
の場合を見る必要がある。
上記のスペクトル曲線では、対応する可積分系は、周期的戸田格子であり、
運動量が0の場合は、
固有値は1の冪根の実部(z+1/z)で、対応する判別式はTschebysheff多項式になる。
(1のN乗根をとり、その実部を射影すると、N->∞で[-2,2]を埋める。)
また、行列模型として、GUEが対応する。
そのポテンシャル関数は単純な2次単項式であり、
時間発展はポテンシャルの高次摂動に対応する。
Combinatorics of the dispersionless Toda hierarchy
http://shell.cas.usf.edu/~wma3/NMMP-Xinjiang-2009_files/Xinjiang2-dToda.pdf
に、Catalan数を用いた(g,n)=(0,1)の記述と、dispersionless Todaによる
(g,n)=(0,2)の記述がある。
The spectral curve of the Eynard-Orantin recursion via the Laplace transform
http://arxiv.org/abs/1202.1159v1
で、その記述を用いて、具体的にtopological recursionの式を、
4. The Laplace transform of the number of dessins and ribbon graphs
で、Bergman kernelの記述とともに書いている。
そこでは、{1,-1}を{0,∞}に移した変数で記述している。
topological recursionで定まるinvariantsは、
- スペクトル曲線(幾何)
- 可積分系
- 行列模型
- string theory
に関連する。
* 行列模型->スペクトル曲線
From Random Matrices to Geometry: the "topological recursion"
http://www.brunel.ac.uk/__data/assets/pdf_file/0012/41070/eynard.pdf
では、large N expansionのleading termの確率測度のStieljes変換として、
スペクトル曲線の(x,y)を復元している。
この場合に、Bergmann kernelを決めるのは、
2点相関関数になる。(すなわち、正則1形式の基底を固定する情報がある。)
* スペクトル曲線->可積分系
Geometry of spectral curves and all order dispersive integrable system
http://arxiv.org/abs/1110.4936v1
では、
代数的なスペクトル曲線から、Lax pairsを復元している。
* string-theory->行列模型
Random Matrices and topological strings
http://www.blau.itp.unibe.ch/Eynard.pdf
toric Calabi-Yau 3-foldの場合に、行列模型が構成でき、
そのスペクトル曲線がmirror curveに対応することを説明している。
* 基本的なスペクトル曲線
GUEのuniversalityとしてAiry curveがでてくるが、
これは1点でのみ分岐するスペクトル曲線として基本的なものになる。
では、1点分岐の条件の下で、invariantsが何を示しているか、というと、
Intersection numbers of spectral curves
http://arxiv.org/abs/1104.0176v3
で、invariantsを具体的、すなわち代数曲線のmoduli上の積分で表している。
2012年5月10日木曜日
Wasserstein距離
情報幾何では、2つの確率分布を比較するのに
Kullback-Leibler距離を使用していた。しかし、これは、極めて荒い分別しかできず、
より細かい距離が応用面においても必要になる。
例えば、画像処理において領域分割の手法に、レベルセット法があり、
Chan-Veseの方法ではKL距離を使用していたが、
Wasserstein Active Contours
http://cvlab.epfl.ch/~fbenmans/teaching/Papers/wasserstein-active-contours.pdf
では、Wasserstein距離を使用している。
Wasserstein距離は、Legendre-Fenchel変換により、測地線が記述できる。
例えば、
Optimal Transport in Imaging Sciences
http://www.ceremade.dauphine.fr/~peyre/talks/2012-01-27-ircam.pdf
では、画像の輝度値のヒストグラムの最適輸送の凸解析による説明をしている。
確率測度の空間の幾何学
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~sohta/jarts/sugaku.pdf
では、
一般のリーマン多様体において、
最適輸送の説明をしている。(およびフィンスラー多様体)
測度を取る空間の曲率の上下の評価が必要であるが、
曲率の評価さえあれば多様体である必要はない。
測度距離空間のリッチ曲率と熱流
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~sohta/jarts/Nenkai12.pdf
では、
相対エントロピーの勾配流と熱流が同一視できることを説明している。
Kullback-Leibler距離を使用していた。しかし、これは、極めて荒い分別しかできず、
より細かい距離が応用面においても必要になる。
例えば、画像処理において領域分割の手法に、レベルセット法があり、
Chan-Veseの方法ではKL距離を使用していたが、
Wasserstein Active Contours
http://cvlab.epfl.ch/~fbenmans/teaching/Papers/wasserstein-active-contours.pdf
では、Wasserstein距離を使用している。
Wasserstein距離は、Legendre-Fenchel変換により、測地線が記述できる。
例えば、
Optimal Transport in Imaging Sciences
http://www.ceremade.dauphine.fr/~peyre/talks/2012-01-27-ircam.pdf
では、画像の輝度値のヒストグラムの最適輸送の凸解析による説明をしている。
確率測度の空間の幾何学
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~sohta/jarts/sugaku.pdf
では、
一般のリーマン多様体において、
最適輸送の説明をしている。(およびフィンスラー多様体)
測度を取る空間の曲率の上下の評価が必要であるが、
曲率の評価さえあれば多様体である必要はない。
測度距離空間のリッチ曲率と熱流
http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~sohta/jarts/Nenkai12.pdf
では、
相対エントロピーの勾配流と熱流が同一視できることを説明している。
2012年5月9日水曜日
フロベニウス作用に対する妄想
有理整数環のBerkovich空間は無限素点と有限素点に対応する辺を持つ星形のグラフで、
trivial normに対応する頂点を持つ。
無限素点においては、ケーラー構造に対応してラプラシアンが定まり、
cohomology類の代表元として調和形式が取れる。
Hodge理論の比較同型定理は、
特異コホモロジーとde-Rhamコホモロジーの複素数係数拡大での比較だった。
有限素点においては、
ガロア表現を持つエタールコホモロジーと
de-Rhamコホモロジーの周期環係数拡大での比較だった。
そこで、有理整数環上定義された代数多様体に対して、
1元体上のガロア表現がもしあったとすれば、
無限素点から来るラプラシアンの生成作用素と
ガロア表現から来るフロベニウス作用素に
何か対応らしきものがあってしかるべきだ、と妄想したくなる。
また、遠アーベル幾何の思想は群から幾何構造が定まる、というものだが、
これは数論的基本群を副有限群と見ての表現環が、従順な群より情報を保持している、
(ex. http://mathsoc.jp/meeting/sougou/2009haru/2009_haru_ozawa.pdf)
と解釈できると思える。
そこで、ガロア表現からマルコフ連鎖を作る(ex. http://www.math.harvard.edu/~lior/work/random_groups.T.pdf)と、
操作と、
無限素点でのラプラシアンの生成作用素、
1元体におけるフロベニウス作用素
に対応がついてほしくなる。
1元体においては、フロベニウス作用が完備化により実数値に拡張されるが、
その議論と、
Markov連鎖を実数をパラメータとする過程に拡張する議論
を平行に行えれば嬉しい。
p進Hodge理論においては、
代数多様体から来るガロア表現の特徴付けとしてde-Rham表現があった。
その類似を辿れば、空間を決めずにMarkov過程を生み出す
Dirichlet形式における議論(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~hino/file/yokou0808.pdf)
を1元体でのガロア表現と結びつけたくなる。
そして、幾何からくる表現の特徴付けが欲しくなる。
Resistance forms, quasisymmetric maps and heat kernel estimates
(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/vdrflecture.pdf)
Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields
http://arxiv.org/abs/math/0107210v2
をみると、
数体は実３次元多様体の類似と見なせる。
そこで、数体のガロア群が実際に実３次元多様体に作用している場合に、
対応するマルコフ過程によりflowを作ると、
それは数体の情報をどれだけ保持してくれるだろうか？
trivial normに対応する頂点を持つ。
無限素点においては、ケーラー構造に対応してラプラシアンが定まり、
cohomology類の代表元として調和形式が取れる。
Hodge理論の比較同型定理は、
特異コホモロジーとde-Rhamコホモロジーの複素数係数拡大での比較だった。
有限素点においては、
ガロア表現を持つエタールコホモロジーと
de-Rhamコホモロジーの周期環係数拡大での比較だった。
そこで、有理整数環上定義された代数多様体に対して、
1元体上のガロア表現がもしあったとすれば、
無限素点から来るラプラシアンの生成作用素と
ガロア表現から来るフロベニウス作用素に
何か対応らしきものがあってしかるべきだ、と妄想したくなる。
また、遠アーベル幾何の思想は群から幾何構造が定まる、というものだが、
これは数論的基本群を副有限群と見ての表現環が、従順な群より情報を保持している、
(ex. http://mathsoc.jp/meeting/sougou/2009haru/2009_haru_ozawa.pdf)
と解釈できると思える。
そこで、ガロア表現からマルコフ連鎖を作る(ex. http://www.math.harvard.edu/~lior/work/random_groups.T.pdf)と、
操作と、
無限素点でのラプラシアンの生成作用素、
1元体におけるフロベニウス作用素
に対応がついてほしくなる。
1元体においては、フロベニウス作用が完備化により実数値に拡張されるが、
その議論と、
Markov連鎖を実数をパラメータとする過程に拡張する議論
を平行に行えれば嬉しい。
p進Hodge理論においては、
代数多様体から来るガロア表現の特徴付けとしてde-Rham表現があった。
その類似を辿れば、空間を決めずにMarkov過程を生み出す
Dirichlet形式における議論(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~hino/file/yokou0808.pdf)
を1元体でのガロア表現と結びつけたくなる。
そして、幾何からくる表現の特徴付けが欲しくなる。
Resistance forms, quasisymmetric maps and heat kernel estimates
(http://www-an.acs.i.kyoto-u.ac.jp/~kigami/vdrflecture.pdf)
Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields
http://arxiv.org/abs/math/0107210v2
をみると、
数体は実３次元多様体の類似と見なせる。
そこで、数体のガロア群が実際に実３次元多様体に作用している場合に、
対応するマルコフ過程によりflowを作ると、
それは数体の情報をどれだけ保持してくれるだろうか？
2012年5月4日金曜日
トーリック多様体とDiscriminant
Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinantsでは、
整数格子内の有限集合Aに対して、
トーリック多様体X_{A}
A-determinantalvariety ∇_{A}
が定義され、射影双対の関係になっている。
genericには、∇_{A}は超曲面で、
その定義多項式を
Discriminant Δ_{A}という。
Principal A-determinant E_{A}
が定義され、
A-secondary polytope Σ(A)はE_(A)のNewton polygonに一致する。
E_{A}の既約分解は、Δ_{A∩Γ}(ΓはAのfaceを渡る)の積として表される。
指数分布族に対してトーリック多様体が対応したが、
その混合分布を取ることが、射影双対を取ることに対応する。
従って、
EM法(ex. http://www.seanborman.com/publications/EM_algorithm.pdf)を
トーリック多様体とその射影双対
の幾何的な操作として理解したくなる。
なお、EM法は情報幾何においては、
双対接続を通して理解されていたが、なるべく接続の言葉を使用せずに、
代数幾何の言葉で理解したい。
というのも、
ベイズ確率論を、(もやもやした)確率の圏に対する関手とみなしたい、
という理由から。
グラフィカルモデルのように条件付き独立性のような構造を抽象化して、
その部分を表現する関手として、トーリック多様体が現れる、
と解釈したい。
基礎体に依存しない構造の話のはずなので、
1元体への還元を取ることができ、その場合がトロピカル多様体、
という形で形式化されるべき話だと思われる。
Tropical Discriminants
http://arxiv.org/abs/math/0510126
トロピカル幾何の立場で、Discriminantを計算している。
Elliptic curves in honeycomb form
http://arxiv.org/abs/1203.2356
グラフとして1-loopを取った場合、
Tate curveのspecial fiberが対応する。
special fiberの持ち上げを、
Berkovich空間と捉えることで、
(Th7の)conceptualな理解が得られている。
整数格子内の有限集合Aに対して、
トーリック多様体X_{A}
A-determinantalvariety ∇_{A}
が定義され、射影双対の関係になっている。
genericには、∇_{A}は超曲面で、
その定義多項式を
Discriminant Δ_{A}という。
Principal A-determinant E_{A}
が定義され、
A-secondary polytope Σ(A)はE_(A)のNewton polygonに一致する。
E_{A}の既約分解は、Δ_{A∩Γ}(ΓはAのfaceを渡る)の積として表される。
指数分布族に対してトーリック多様体が対応したが、
その混合分布を取ることが、射影双対を取ることに対応する。
従って、
EM法(ex. http://www.seanborman.com/publications/EM_algorithm.pdf)を
トーリック多様体とその射影双対
の幾何的な操作として理解したくなる。
なお、EM法は情報幾何においては、
双対接続を通して理解されていたが、なるべく接続の言葉を使用せずに、
代数幾何の言葉で理解したい。
というのも、
ベイズ確率論を、(もやもやした)確率の圏に対する関手とみなしたい、
という理由から。
グラフィカルモデルのように条件付き独立性のような構造を抽象化して、
その部分を表現する関手として、トーリック多様体が現れる、
と解釈したい。
基礎体に依存しない構造の話のはずなので、
1元体への還元を取ることができ、その場合がトロピカル多様体、
という形で形式化されるべき話だと思われる。
Tropical Discriminants
http://arxiv.org/abs/math/0510126
トロピカル幾何の立場で、Discriminantを計算している。
Elliptic curves in honeycomb form
http://arxiv.org/abs/1203.2356
グラフとして1-loopを取った場合、
Tate curveのspecial fiberが対応する。
special fiberの持ち上げを、
Berkovich空間と捉えることで、
(Th7の)conceptualな理解が得られている。
2012年5月1日火曜日
局所類体論
保型表現と Galois 表現
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/Yoshida_SummerSchool-1.pdf
淡中圏の考え方は
ベクトル空間の圏という枠組みを用いて、
種々の空間をGalois群の作用するベクトル空間の圏の対象と見なすことで、
統一的に理解することを目的としている。
An introduction to the theory of p-adic representations
http://arxiv.org/abs/math/0210184v1
p進HodgeにおけるGalois表現の圏と周期環の扱い
に対応する話が1元体であるか？
という疑問が出てくる。
すなわち、
1元体におけるWitt環とde-Rham周期環の定義があることから、
- 1元体のGalois表現の圏を構成できるか？
- crystalline周期環は何か？さまざまなGalois表現の圏に対応して周期環を構成できるか？
- 1-divisible groupのDiudonne theoryに対応するものはあるか？とくに、Kummer系列は存在するか？
- (φ,Γ)群の枠組みはあるか、特に表現の圏の線形代数による言い換えができるか？
などの疑問がでてくるわけだが、
Connesの論文で定義された周期環は柔らかい関数を多分に含んでいる。
気になるのは、
Hilbert空間で元が正則関数からなるもの、
といった固い空間と
それに比較して柔らかい空間が、
たとえばFourier変換を通して対応する場合があるが、
そうした空間の特徴付けをGalois群を用いて行うことができるか？
という点。
カーネル法(http://www.ism.ac.jp/~fukumizu/ISM_lecture_2010/Kernel_2_basics.pdf)
のような正値性をもつ再生核Hilbert空間の話と
トーリック多様体の幾何学
を結びつけることができるか?
Local class field theory via Lubin-Tate theory
http://arxiv.org/abs/math/0606108v2
局所類体論は、wildly ramifiedの部分を処理できれば、特に難しいところはない。
1次元の場合は、Lubin-Tate理論があるんで、その場合も
formal groupを用いて記述できる。
高次元局所類体論
http://msp.berkeley.edu/gtm/2000/03/
Invitation to higher local fields, Part I, section 2: p-primary part of the Milnor K-groups and Galois cohomology of fields of characteristic p
http://arxiv.org/abs/math/0012133v1
Invitation to higher local fields, Part I, section A: Appendix to Section 2
http://arxiv.org/abs/math/0012134v1
local ringにおけるKahler differentialの具体的な記述と
Bloch–Kato–Gabber’s theorem。
Invitation to higher local fields, Part I, section 9: Exponential maps and explicit formulas
http://arxiv.org/abs/math/0012140v1
指数写像により微分とK群の元の対応をつけている。
Invitation to higher local fields, Part I, section 13: Abelian extensions of absolutely unramified complete discrete valuation fields
http://arxiv.org/abs/math/0012144v1
Witt環と1次元Galois cohomologyの対応。
p-adic etale cohomology
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1986__63_/PMIHES_1986__63__107_0/PMIHES_1986__63__107_0.pdf
混標数(0,p)でのp冪のエタールコホモロジーにおいて、
mod pでは、de-Rham部分だけが出てきたが、
mod p^nでは、de-Rham Witt complexを必要とする。
Algebraic K-theory and crystalline cohomology
http://www.springerlink.com/content/8j7n4613481q4408/fulltext.pdf
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ss2009proceeding/Yoshida_SummerSchool-1.pdf
淡中圏の考え方は
ベクトル空間の圏という枠組みを用いて、
種々の空間をGalois群の作用するベクトル空間の圏の対象と見なすことで、
統一的に理解することを目的としている。
An introduction to the theory of p-adic representations
http://arxiv.org/abs/math/0210184v1
p進HodgeにおけるGalois表現の圏と周期環の扱い
に対応する話が1元体であるか？
という疑問が出てくる。
すなわち、
1元体におけるWitt環とde-Rham周期環の定義があることから、
- 1元体のGalois表現の圏を構成できるか？
- crystalline周期環は何か？さまざまなGalois表現の圏に対応して周期環を構成できるか？
- 1-divisible groupのDiudonne theoryに対応するものはあるか？とくに、Kummer系列は存在するか？
- (φ,Γ)群の枠組みはあるか、特に表現の圏の線形代数による言い換えができるか？
などの疑問がでてくるわけだが、
Connesの論文で定義された周期環は柔らかい関数を多分に含んでいる。
気になるのは、
Hilbert空間で元が正則関数からなるもの、
といった固い空間と
それに比較して柔らかい空間が、
たとえばFourier変換を通して対応する場合があるが、
そうした空間の特徴付けをGalois群を用いて行うことができるか？
という点。
カーネル法(http://www.ism.ac.jp/~fukumizu/ISM_lecture_2010/Kernel_2_basics.pdf)
のような正値性をもつ再生核Hilbert空間の話と
トーリック多様体の幾何学
を結びつけることができるか?
Local class field theory via Lubin-Tate theory
http://arxiv.org/abs/math/0606108v2
局所類体論は、wildly ramifiedの部分を処理できれば、特に難しいところはない。
1次元の場合は、Lubin-Tate理論があるんで、その場合も
formal groupを用いて記述できる。
高次元局所類体論
http://msp.berkeley.edu/gtm/2000/03/
Invitation to higher local fields, Part I, section 2: p-primary part of the Milnor K-groups and Galois cohomology of fields of characteristic p
http://arxiv.org/abs/math/0012133v1
Invitation to higher local fields, Part I, section A: Appendix to Section 2
http://arxiv.org/abs/math/0012134v1
local ringにおけるKahler differentialの具体的な記述と
Bloch–Kato–Gabber’s theorem。
Invitation to higher local fields, Part I, section 9: Exponential maps and explicit formulas
http://arxiv.org/abs/math/0012140v1
指数写像により微分とK群の元の対応をつけている。
Invitation to higher local fields, Part I, section 13: Abelian extensions of absolutely unramified complete discrete valuation fields
http://arxiv.org/abs/math/0012144v1
Witt環と1次元Galois cohomologyの対応。
p-adic etale cohomology
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/PMIHES/PMIHES_1986__63_/PMIHES_1986__63__107_0/PMIHES_1986__63__107_0.pdf
混標数(0,p)でのp冪のエタールコホモロジーにおいて、
mod pでは、de-Rham部分だけが出てきたが、
mod p^nでは、de-Rham Witt complexを必要とする。
Algebraic K-theory and crystalline cohomology
http://www.springerlink.com/content/8j7n4613481q4408/fulltext.pdf
登録:
投稿 (Atom)