twistorとFF curve

Hamiltonian’s ghost

• [Hitchin] Hyperkähler manifolds

複素数体上でのFrobenius作用素が複素共役、
という観点で、HyperKähler性のarithmetic versionがないか、
というのは、素朴な疑問。
Hermite形式が$\varphi$-moduleと対応する。
Hamiltonの4元体は、実数体上の非自明な中心多元環で、
$\mathbb{R}^{4}$と実数上のベクトル空間で同型、
そのため、4次元実空間上のanti-self dual Yang-Mills equationの解の特殊化
として、HyperKähler空間の例が出てくる。
[Hitchin]では、”Hamilton’s ghost may yet rest content.”
と記述されている。

p進体上では、各次元ごとに各々存在する。
従って、それらの中心多元環を集めてひねることが必要になる。
Hamilton’s ghostは果たして数論に対して心安らかなのだろうか?

twistor

• [Mochizuki] 従順調和バンドルの漸近挙動と純ツイスターD-加 群について
• [Sabbah] INTRODUCTION TO TWISTOR D-MODULES
• [Simpson1] Nonabelian Hodge Theory
• [Simpson2] Mixed twistor structures

複素共役によって射影直線を分割する、という手法は、
一つはQuasi conformal mapを用いて上半平面を2つ貼り合わせる、
という場合に、
もう一つはHodge構造の拡張としての底空間という場合に、
現れる。
後者は、non abelian Hodge theoryの拡張として、
一般論が建設されている。

p-adic twistor

• [Fargues1] p-adic twistor
• [Fargues2] FROM LOCAL CLASS FIELD TO THE CURVE AND VICE VERSA

射影直線に相当する幾何学的対象として、
Fontaine-Fargues曲線がある、
というのが、[Fargues2]5. Archimedean/p-adic twistorsにおける指摘。

疑問としては、

• 標数pの局所体上、Hodge-Pink構造に対するFF曲線について、同様にtwistor構造を定めることが出来るか?とくにtiltingと両立するか?
• [Fargues2]4.3. Vice Versaの部分は、標数pの局所体で成り立つか?
  さらに、
• Hodge theaterにおける、楕円曲線とその±1で割ったorbifoldの役割をtwistorの底空間として理解できないか?(無論、FF-curveと射影直線で違いがあるので、素朴には成り立たない。)

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geometric satake

モノドロミー保存変形

可解格子模型は、極限が、共形場理論となり、
相関関数はKZ方程式を満たす関数となる。
$\mathbb{P^{1}}$の4点に分岐を持つ微分方程式のモノドロミー保存変形として、パンルヴェ方程式が現れる。
合流に応じて、対応するQuiverの対称性から、パラメータに依存して超越解と代数解かが定まる。
この背後にあるのは、元のリーマン面の基本群の表現のmoduliにシンプレクティック構造が入り、いわば位相的な構造を持っているが、
それがQuiverという組み合わせ的構造により抽出される、ということ。
不確定特異点まで込めて、基本群の表現のmoduliを構成して、その組み合わせ的構造からくる対称性を記述する、ということが、Frobenius多様体と合わせての問題意識となっている(ようだ)。

• [Boalch1]HiggsbundlesConnectionsandQuivers
• [Boalch2] Symplectic Geometry and Isomonodromic Deformations
• [HY] Moduli spaces of meromorphic connections and quiver varieties
• [Hiroe] Moduli spaces of meromorphic connections, quiver varieties, and integrable deformations
• [Intro] Introduction to Nonabelian Hodge Theory: flat connections, Higgs bundles and complex variations of Hodge structure

geometric satake

標語的には、モノドロミー保存変形の量子化が共形場理論、
ということになるが、実際に量子化を行うのに、
複素数体上では、Beilinson-DrinfeldによるD-加群を用いた量子化、
があった。
標数pにおいては、p-curvatureを用いることで、
量子化が、記述できる(ようだ)。

• An introduction to affine Grassmannians and the geometric Satake equivalence
• Quantization of Hitchin integrable system via positive characteristic

標数pにおいて、モノドロミー保存変形に対応する、Galois表現保存変形、というのは存在するのだろうか?
ここで、可解格子模型に対応するGalois表現というものが出てきて、
極限がperfectoidを用いて表せたりすると、複素数体上との対応がわかりやすくなる。

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