素朴な疑問

* 絶対Galois群のPersistent homologyもしも、局所体の絶対Galois群が、
局所体の位相構造によって標準的に定まる距離空間に連続に埋め込まれていれば、
距離空間から定まる距離によって、Persistent homologyが計算できる。
特に、その0次、すなわち連結成分の挙動を見ることにより、
絶対Galois群にfiltrationを入れることができる。

無論、標準的な距離空間への埋め込みは存在していないが、
Abbes-Saitoによる上付きfiltrationの考え方は、
quotientとしての有限群を
rigid analytic spaceへ標準的に埋め込んで、
各点での近傍に膨らましていった時の連結成分の挙動を調べ、
それを元の群の情報に持ち上げる、
ということのようだ。
filtrationに対するgraded groupを見るということは、
距離空間において焦点をあてるスケールを固定する、ということだが、
graded groupは(p-torsion)abel群になり、
特に、そのdualは
(log)微分形式からfiltrationにより一部を取り出したもの、
に埋め込まれる。
標数pでの基本的な拡大はArtin-Schreier拡大だが、
これは元の体の環の演算を用いていて、
絶対Galois群を抽象的な位相群と見ているだけではでてこない(はず)。
(局所体の分岐群について
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/talk/ram.pdf
)
graded groupの微分形式への埋め込みは、
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3
のProp3.1.11およびTh3.4.1で
p進微分方程式の分解と対応付けられている。

Q: 絶対Galois群に対して、高次のPersistent homologyは、
Galois群の情報から意味ある量で記述できるか?

* 数え上げ
Q:n次Galois拡大は、n個のdiviserの交わりと思い、
交わりを摂動することで、n角形と見なし、数え上げを行うことが出来ないだろうか?


* 深谷圏
Constructible Sheaves and the Fukaya Category
http://arxiv.org/abs/math/0604379v4
Microlocal branes are constructible sheaves
http://arxiv.org/abs/math/0612399v4

X:compact real analytic manifold
に対して、その余接バンドル内のexact Lagrangian branesのなす深谷圏は、
Xの可構層の導来圏から得られるdg圏と同値だった。

Riemann-Hilbert対応により、可構層の導来圏は、
確定特異点型ホロノミーD加群の導来圏と導来同値だった。

Q:不確定特異点型も含めたホロノミーD加群の導来圏と導来同値な
可構層の導来圏を含む三角圏は存在するか?
(Introduction to Stokes structures
http://arxiv.org/abs/0912.2762v3
ではStokes-perverse sheafの圏が定義されRiemann-Hilbert対応が成り立つ、とある。
)

Q:Stokes-perverse sheafに対して、
characteristic cycleによるNadler-Zaslowの対応を拡張することができるか?
できるとすれば、対応するLagrangianはどのような性質を持つか?

Q:標数pの体上の固有代数多様体上のl進層の導来圏に対して、
characteristic cycleの対応を与えることにより、dg圏を構成できるか?

常微分方程式

* 基礎的事項
常微分方程式について、
- 複素数体上
- p進体上
それぞれで特有の事項と類似の事項がある。

** 類似の事項
- 局所解、大局解の概念がある
- 微分加群の概念が定義でき、標数0の微分体上の微分加群の場合はcyclic vectorが存在する
- Riemann-Hilbert対応があり、位相的な情報と微分方程式の同値類の対応がある
- 形式冪級数、収束冪級数、それぞれに対応する環について算術的側面と幾何的側面がある
- 典型的な微分方程式として、指数関数、冪関数に対応する方程式が存在する

** 複素数体上の特有事項
- Cauchyの定理により非特異点では局所的に解が存在する
- 収束性と微分の相性が悪い
- 扇形領域における漸近展開の概念がある
- 形式解に対応する漸近展開を持つ真の解が存在する
- 確定特異点、不確定特異点の概念がある
- Stokes構造の概念があり、解空間の分解(filtration)が存在する
- モノドロミー保存変形の理論がある

** p進体上の特有事項
- 指数関数の収束半径が有限
- Cauchyの定理が成立せず、局所的な水平切断の収束半径が問題になる(収束半径>0だが完全不連結なので必ずしも繋げない)
- 収束性と微分の相性が良い
- 形式冪級数環の部分環として、円盤、円環上の関数環、有理関数体の部分環の完備化、(bounded)Robba ringなどが取れる

- spectral radiusによりNewton多角形が定義され、visible decomositionが存在する。
- Frobenius作用素によるpush-forward, pull-backが定義できる場合があり、収束半径の制御が出来る場合がある
- (dualizable)Frobenius構造に対してslope filtrationが定義できる。
- Berkovich空間上の微分加群はretractionとなっている局所有限グラフで制御される

- 標数pの完全体kに対してE=k((x))とすると、G:Eの絶対Galois群のp進表現の圏とetale-φ加群の圏は同値
- さらに、局所有限モノドロミーを持つp進表現の圏とbounded Robba ring上のetale-φ-∇加群の圏は同値


* 疑問点
- middle convolutionに対応する操作をp進常微分方程式に対して行うこと(有限体を完全体に拡張できるか?)
- p進常微分方程式におけるモノドロミー保存変形、特にTate-curve上でのIsing模型
- p進常微分方程式に対応するGalois表現に対応するAbbes-Saitoのcharacteristic cycleは、
複素数体上のD加群のcharacteristic cycleのような解釈を持つのか?
- 具体的なGalois拡大(Artin-Schrier拡大、Kummer拡大)に対応するp進微分方程式の具体的な記述
- 複素数体上における特異点の合流の類似として暴分岐Galois表現のconductorのblow-upによる解釈を理解すること

* 基礎的事項に関して

微分方程式の不確定特異点
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H23-takuro.pdf

p進表現とp進微分方程式: 正標数の局所体の場合
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~fujiwara/sendai/shiho.E.pdf
Local and global structure of connections on nonarchimedean curves
http://arxiv.org/abs/1301.6309v2
Continuity and finiteness of the radius of convergence of a p-adic differential equation via potential theory
http://arxiv.org/abs/1209.6276v1

* 疑問点に関して
特殊関数と代数的線型常微分方程式
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/spfct3.pdf

Arithmetic and Differential Swan Conductors of rank one representations with finite local monodromy
http://arxiv.org/abs/0711.0701v2
On refined ramification filtrations in the equal characteristic case
http://arxiv.org/abs/0911.1802v3

Rank One Solvable p-adic Differential Equation and Finite Abelian Characters via Lubin-Tate groups
http://arxiv.org/abs/math/0612725v2