妄想
- 絶対Galois群を押しつぶしたらブラックホールになるのか?
- ブラックホールには毛がない。Galois群の毛は何か?商群が観察結果と思えるか?
- ブラックホールの事象の地平線に相当するものは何か?
- ブラックホールの内側を開部分群とみなすと、deeply ramified extentionに相当する部分群を事象の地平線と思えばよいか?
- そもそも幾何の距離に相当するものは何か?
- p-adic HodgeがKahler性を仮定せずに成立するのはformal modelの存在([Bhatt2]p6)
- admissible blow-upの逆操作がRicci-flowによるblow-downに対応すると思えるか?
AdS/CFT対応のperfectoid版は存在するか?
- Berkovich空間としての上半平面と離散AdS空間の類似
rigid analytic geometry
- [Conrad1] Several approaches to non-archimedean geometry
[Conrad1] の解説によると、
- Tate algebraの定義(Def1.1.2,Def2.1.2)
- affinoid algebraの定義(Def1.2.1)
- Laurent domain,Weierstrass domain,rational domainの定義、universalityの性質(lem2,1,8)
- affinoid subdomainの定義(Def2.2.1)
- fiber productとしてのcompleted tensor product(Exercise2.2.3)
- Gerritzen-Grauert theorem(Th2.2.5)i.e. affinoid subdomainはrational domainのfinite union
- admissible open,adomissible coverの定義(Def2.2.6)
- Tate topologyの定義(Def2.3.1)
- Tate’s Acyclicity theorem(Th2.3.3)
- affinoid spaceの定義(Def2.3.5)i.e.affinoid algebraから定まる局所環付き空間
- rigid analytic spaceの定義(Def2.4.1)i.e.局所的にaffinoid spaceを貼り合わせて得られる局所環付き空間
- quasi-compact,quasi-separatedの概念の定義(Exercise2.4.8,Def3.1.6)
- properの定義(Def3.2.3)
- rigid spaceにおけるcoherent sheavesのcohomologyの性質(Th3.2.2)
almost mathematics
指数定理では、Fredholm作用素のように有限と無限の間の概念が有用だった。環論において、有限性と無限性をつなぐ概念として、almost mathematicsがある。(almost projective module of finite rankはFredholm作用素に近いように思える。)
- [Bhatt1] MATH 679: PERFECTOID SPACES
- [Scholze1] Perfectoid spaces
[Bhatt1]の解説によると、
- almost mathematicsは、,に対するadjoint pairs ,,,の構成に対応する(§5.1)
- に対して、を定義して、adjoint pairsを構成する(Prop5.2,Th6.1)
- almost flat,almost projective,almost finitely generated,almost finitely presented,uniformly almost finitely generatedの概念が定義される(Def6.6)
- almost finite etaleの概念が定義される(Def7.3)
- weakly etaleの概念が定義される(Def7.11)
- finitely presentedの場合はweakly etaleとetaleは同じだが、一般にはetale mapのinductive limitになる(Fact7.12,Fact8.4)
- almost mathematicsの設定で閉集合を除くことの類似として、Zariski-Nagataの純性定理の類似定理が存在し、almost purityと呼ばれる(§13.1)
- generic fiberがfinite etaleならspecial fiberまで込めてalmost finite etaleという形の定理
- 標数pの設定でのalmost purity theoremは、perfect ring上のalmost setupの場合に成立する(Prop7.6,Th8.1)
- almost zeroを示すのによく使われる論法はfはalmost zero(Claim7.7)
- 標数0の設定でのalmost purity theoremは、perfectoid algebraの条件の場合に、tiltingを用いることにより標数pの場合に帰着できる(§13,Th13.2)
- perfectoid algebraの定義(Def9.12,Def10.1)
- Non-Archimedian Banach algebraの議論(Th9.7)
- Witt vector(deformation)の議論を用いてperfectoid algebraはinteresting deformationを持たないことを示す(Th11.1,Th11.8,Prop12.3,Th12.6)
- perfectoid affinoid K-algebraの場合のalmost purity theorem(Th25.10)
- adic spaceの場合のTate algebraはcoupe of definitionによって定まる(Def13.5)
- bounded set,power bounded,uniformの定義(§14.1)
- affinoid Tate ringの定義(Def14.10),対応するadic spectrumの定義,rational domainの定義(Def14.14)
- Berkovich spaceと比較してrankが1より大きいvaluationも入るが、special fiber内に収まる(Prop15.10,Rem15.11)
- spectral spaceの定義(Def16.4),非構成的な特徴づけ(Th16.5)
- affinoid Tate ringに対応するadic spectrumの性質(Th16.9,Th17.1)
- rational open subsetに対応するaffinoid Tate algebraの普遍性(Th17.5)
- affinoid Tate ringのstructure presheafの定義、sheafyの定義(Def19.5)
- adic spaceの定義(Def19.11)
- perfectoid affinoid algebraの定義(Def19.12,Def20.1),tiltによる圏同値(Prop19.14)
- のrational subsetsを保つhomeo(Th20.3)
- perfectoid affinoid algebraに対応するSpaのTate acyclicity(Th23.1)
- affinoid perfectoid space,perfectoid spaceの定義(Def25.2)
- almost purity theoremの証明(Claim26.7)
p-adic Hodge
- [Bhatt2] The Hodge-Tate decomposition via perfectoid spaces
- [Scholze2] p-adic Hodge theory for rigid-analytic varieties
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