グラフィカルモデル

確率分布の中で、具体的に計算ができて性質がよくわかるものをbuilding blockとしたい。
そのために、基本的な確率分布を列挙する。

Bernoulli分布
2値変数に対して、定義される。
2値ではなく自然数値にすると2項分布になる。
A={e1,e2}->R^{k-1}=R
[0,1]がモーメントマップの像で、これがパラメータ空間。

Beta分布
Bernoulli分布のパラメータに対する共役分布。
ベータ関数が周期として出てくる。

多項分布
2項分布の拡張として、n-単体で定義される。
Dirichlet分布
多項分布のパラメータに対する共役分布

がある。
これらはすべて指数分布族の範疇に属する。

Toric多様体と指数分布族との関係は、
ON THE TORIC ALGEBRA OF GRAPHICAL MODELShttp://math.berkeley.edu/~bernd/AOS0092.pdf
に記載されているように、
グラフィカルモデルの言葉で記述するのが見易い。

* Graphical model
PRML 8. GRAPHICAL MODELS
http://research.microsoft.com/en-us/um/people/cmbishop/PRML/Bishop-PRML-sample.pdf
確率モデルは、確率変数と確定的変数を用いた式で記述される。
確率変数の確率的要素の基本単位を定めて、
有向グラフと観測の有無の情報により、確率モデルに対する確率分布の性質を記述することを目的として、
有向グラフィカルモデルが定義される。

グラフィカルモデルで抽象化しているのは、
確率モデルにおける確率変数の依存性と、
確率変数の条件付き独立性。

* 確率分布に対する演算
確率変数の依存性に対するベイズの定理を用いることで、
有向グラフの向きを逆にする演算を行うことができる。
(これは、cluster代数におけるmutationの概念の類似と見なしたい。)この場合、指数分布族に対する共役分布のように、
パラメータの範囲が問題になる。
この演算において確率分布を求めるためには、
分配関数を計算する必要が出てくる。
すなわち、[0,1]をサイクルとする周期であるが、
パラメータが複素数であれば解析接続ができる。
この場合、出てきた値に何か意味がつくのだろうか？

また、別の確率分布に対する演算として、
混合がある。

グラフィカルモデルと、事後分布、混合、
の演算を繰り返してできる確率分布は、
グラフの各頂点に事前分布を与えると計算できる。

* 情報量
X:確率変数
に対して、情報量を、
I(X):=-log(p(X))
と置く。
I(X)は0<=p(X)<=1から0<=I(x)<=\infty
が成り立つ。

* total positivity
total positivityは、
モデルが定める多様体の実数値点が情報量を表す、
ということの言いかえとみなせる。

* 1元体
The Witt construction in characteristic one and Quantization
http://arxiv.org/abs/1009.1769v1

一般に、
k:標数pの有限体に対して、Witt環を構成すると、
W(k):標数0の環
となり、K'/k:有限拡大にW(k')/W(k)は商体が不分岐拡大となっている。
p進Hodge理論におけるガロア表現の取り扱いは、
不分岐拡大　p冪巡回拡大 暴分岐拡大
という形でガロア表現を分解し、
対応する周期環(B_{crys},B_{st},B_{dR})を用いて線形な情報に置き換えるのが、
効果的な手法だった。

標数1の有限semi-fieldとして
B={0,1}がある。
R:semi-ringがBを含むと、
和とスカラー倍に適合する部分順序が入る。
Rを商体に埋め込みたいが、そのためには、
multiplicatively cancellativeの条件が必要で、
このとき、冪は単射である。(lem4.3)
Rの例として、max-product代数がある。(logをとると、max-sum代数)
semi-ringから環を作る操作として、Symmetrizationがある。(Prop4.8)

冪が全射の時、perfectである、と定義する。(Def4.4)
これから、Frobenius写像に対応する写像が定義される。
これは正の有理数冪に対して定義されるが、完備化によりそれを実数上に拡張して、
one-parameter automorphism groupとしたい。
(Prop6.5)
ただし、完備化にあたって、p進体におけるpに相当する、
乗法の付値を与える元を一つ固定する必要がある。

標数1のmultiplicatively cancellative perfect semi-ring
に対して、完備化、加法の修正、Symmetrizationの操作により、
Witt環を定義する。
(Prop6.8, Def6.10)
ここで、加法の定義には、Entropyがでてくる。
(Th5.3)

Berkovich空間は、(multiplicative)semi-normを考えることで空間を定義したが、
その類似として、標数1においても、
Witt環上にsemi-normを定義できて、その完備化はBanach代数となる。
(Th6.15)
(ただし、Symmetrizationがあるので、multiplicative normにはならない。)

漸近展開におけるBorel総和法は、p進Hodgeにおける、
A_{crys}の定義に対応する?

* 周期環
- 整数環上のモデルを作り、局所化し、係数体で還元したものの性質を見る
という局所化の手法は広く用いられているが、
無限素点における還元とは何か？
1元体における還元とは何か？
ということが疑問になる。
無限素点として実数がとれる時に、
多様体の実数値集合の性質を見ることと、
Witt環上の性質、係数体での還元、
ということが問題になるが、
The universal thickening of the field of real numbers
http://arxiv.org/abs/1202.4377v1
では、実数体を係数に持つWitt環を構成し、
周期環を定義している。
有界変動関数に対して、長さを用いた逆関数を定義し、
ラプラス変換とWitt環の展開の類似を示している。

GKZ超幾何関数

Log-Linear Models, Toric Varieties, and Their Markov Bases
http://www.math.harvard.edu/~seths/lecture2.pdf

指数分布族がトーリック多様体のモーメント写像の像に対応する。
マルコフ基底と(A,h)の対応がつき、
マルコフ連鎖モンテカルロにより乱数を用いたサンプルを生成する場合の、
遷移グラフとマルコフ基底の代数的操作が対応する。
では、遷移グラフは、トーリック多様体のスペクトル曲線と関係があるか？

トーリック多様体の同変直線束の積が、
多面体のミンコフスキー和で記述できることを、
hyperfieldの観点から解釈できないか？

Thermodynamics and the moment map
http://arxiv.org/abs/1108.3472v1
統計力学の枠組みでGibbs分布に基づく分配関数は指数和。
(1.6)で超幾何分布がでてくる。
(2.1)で複数のハミルトニアンからなる写像で凸多角形をEuclid空間に埋め込むことにより、
指数分布族とトーリック多様体のmoment mapを関連づけている。
逆温度は、指数分布族のパラメータと解釈される。
Prop2.3では、
- エネルギー期待値により、パラメータ空間は状態の凸閉包のなす凸多角形にdiffeoに移る。
- Legendre変換により、分配関数の対数とエントロピーが対応する。
が示されている。
指数分布族の十分統計量、とは単に、凸多角形内のエネルギー期待値のことで、
この場合には情報幾何でいうところのe-座標系とm−座標系の対応になる。


Symplectic Toric Manifolds
http://www.math.ist.utl.pt/~acannas/Books/toric.pdf
Th1.2.2 Delzant polytopeとsymplectic Toric manifoldsは一対一に対応する
1.3.3でgenericなベクトルに対するmoment mapをとって、
Morse functionとしている。

GKZ Hypergeometric Structureshttp://arxiv.org/abs/math/0511351v1
- Aとhによって微分方程式系が定まる
微分方程式系はEuler積分の形から導出される系と
トーラス作用から導出される系の2種類がある。
- Fourier-Γ seriesが定義でき、GKZ微分方程式系を満たす
- Aの生成元でよい性質のものがとれる
Secondary fan
グレブナー基底
Stanley-Reisner ideal
-区分的線形関数
Tropical reductionとみると、fiberは指数和

GKZ超幾何関数は、トーリック多様体の量子化を与えるものと
解釈できる。
secondary fanのmaximal coneを与えると、
Fourier-Γ seriesの無限小変形をすることができる。
これは　GKZ微分方程式の解を与える。

ある可積分系における固有関数の分布関数の漸近挙動
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1364-10.pdf
Distribution laws for integrable eigenfunctions
http://arxiv.org/abs/math/0306189v1