2017 p-adic Hodge

Hodge-Tate

• [Feng] Hodge-Tate Theory
• [Olsson] Faltings’ method of almost ́etale extensions

[Feng]では、

• p進局所体$K$の代数閉包の完備化$C_{K}$のGalois cohomology(Th2.1)
• $G=Gal(\overline{K}/K)$を$\Gamma_{K}=Gal(K_{\infty}/K)$と$H_{K}=Gal(\overline{K}/K_{\infty})$に分けて各々計算 $H_{K}$(Th2.3,Th2.10) $\Gamma_{K}$(Th2.15)
• $C_{K}(i)$の$Ext^{1}$の計算(Cor2.19)
• Tate-module$T_{p}$,$V_{p}$,$W_{p}$の定義(Def3.1,3.2)
• $\Omega=\Omega^{1}_{\overline{\cal{O}_{K}}/\cal{O}_{K}}$に対して、$W_{p}(\Omega)=C_{p}(1)$(Th3.3, Cor3.13,Cor3.14)

の記述がある。
$C_{p}(1)$という算術的対象が、$\Omega^{1}_{\overline{\cal{O}_{K}}/\cal{O}_{K}}$という幾何的対象で解釈される。そのためには、良い$\mathbb{Z}_{p}$拡大により分岐を消していくことが必要だった。

p-adic Hodge(Beilinson)

• [Illusie] Around the Poincar ́e lemma, after Beilinson
  
• [SZ] The p-adic Hodge decomposition according to Beilinson

Hodge理論において代数幾何の範囲に収まらないのは、Poincare lemmaで、
これが関手性を持って示されれば、比較同型定理はRiemann-Rochの定理同様、Gysin同型とChern類の議論を用いて簡単な場合に帰着される。

Beilinsonの比較同型定理の証明の手法は、
derived de Rham complexを用いて周期環を定義し、
p-adic Poincare lemmaをh-topologyの下で示すものだった。

[SZ]には、

• 準備
  
  • cotangent complexのtransitivity triangle(Th2.13)
  • first order thickening(Prop2.18)
  • derived de Rham complex(Def2.22)
  • Hodge-completed derived de-Rham complex|algebra(Def2.23)
  • universal first order thickening(Th2.29)
  • universal p-adically complete first order thickening(Prop3.10)
  • the derived p-adic complection(Cor3.31)

• 定義

  • $A_{inf}:=W((\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/(p)))^{perf}$
  • universal p-adically complete thickening of order k(Prop3.14)
  • derived p-adic complectionを用いた周期環の定義 $A_{\mathrm{dR,\it{K}}} := L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}}$ (§4.1)
  • $L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}}\hat{\otimes}\mathbb{Z}_{p}:=R\underleftarrow{\lim}(L\hat{\Omega}^{\centerdot}_{\cal{O}_{\overline{\it{K}}}/\cal{O}_{\it{K}}})\otimes^{L}\mathbb{Z}/p^{n}\mathbb{Z}$(Cor3.30)
  • universal p-adically complete PD thickening of order k(Th4.9)
  • the Fontaine element$t\in Fil^{1}B^{+}_{dR}$(Const 4.11, Def4.12)

• geometric side

  • h-topologyの定義(Def5.4)
  • torsion etale sheafとh-sheafの関係(Cor5.7)
  • category$\cal{P_{k}}$の定義と$\cal{A}_{\mathrm{dR}}$、$\hat{\cal{A}_{\mathrm{dR}}}$の定義(Def5.11)
  • filtered quasi-isomの構成(Th5.13), Hodge-complete version(Th5.14)
• arithmetic side
  
  • $\cal{A}^{\sharp}_{\mathrm{dR}}$の定義
  • $\cal{A}^{\sharp}_{\mathrm{dR}}\otimes\mathbb{Q}\simeq \hat{\cal{A}_{\mathrm{dR}}}$(Prop5.16)
• Beilinson’s p-adic Poincare lemma(Th5.17)
  
  • p-divisibility(lem6.14)
• 比較同型写像の構成(Construction5.19)

の記述がある。

p-adic Hodge(perfectoid)

• [Bhatt] THE HODGE-TATE DECOMPOSITION VIA PERFECTOID SPACES

[Bhatt]には、

• $\nu:X_{proet} \rightarrow X_{et}$
• local version Hodge-Tate filtration(Th3.3)
• deformation invariance of the category of formally etale algebra(Th3.11)
• $X_{proet}$のbasis for the topologyとしてaffinoid perfectoidが取れる(Th3.21)
• $R^{i}\nu_{*}\hat{\cal{O}_\mathrm{X}}$の計算(lem3.25)
• 1-dim torusの場合に帰着(§3.5)

の記述がある。

Riemann-Hilbert

• [LZ] Rigidity and a Riemann-Hilbert correspondence for p-adic local systems

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