生成関数、接触構造、Lagrangian
non-displaceability
- [GKS] Sheaf quantization of Hamiltonian isotopies and applications to non displaceability problems
- [GP] Microlocal theory of sheaves and Tamarkin’s non displaceability theorem
- [Ike]Compact exact Lagrangian intersections in cotangent bundles via sheaf quantization
[Ike]では、[GKS]の流れの解説と拡張を説明している。
- 2つのcompact setsがnondisplaceabilityとは、どんなHamiltonian diffeomorphismで移しても交わりが空にならないこと
- Hamiltonian isotopyに対してLagrangianが構成され、その量子化として層が構成される(Th3.1)
- nondisplaceabilityという幾何的な条件をとある圏のHom空間の条件に翻訳する(Th3.11)
- separability theorem: 2つのcompact setの交わりが空ならHom空間は0(Th3.5)
- invariance theorem: Hamiltonian diffeomorphismに対して圏の間手が対応し、objectはisoになるように商圏を取ることができる(Th3.10)
- 圏 D(M),商圏 T(M)の定義(Def3.3, Def3.8)
- compact exact Lagrangianのsimple sheaf quantization(3.3)
- 層に対してsingular supportが定義され、conic Lagrangianになる
- compact exact Lagrangianは一般にconicではないが、conificationという操作を行うことができる(3.21)
- conificationされたLagrangianに対して、量子化された層が唯一存在する(Th3.13)
- その層はconified Lagrangianに沿ってsimpleになり、simple sheaf quantizationと呼ばれる
- Hom空間の具体的な記述
- singular supportは層の挙動が変わる領域を超局所的に見ている
- Hom空間を見るには、μhomのMorse理論的なパラメータ変化を見る(Prop4.7,lem4.9,Prop4.11)
- Sheaves on manifoldsのCh7の議論を用いて、Hamilton isotopyのquantizationからquantum contact transformationを対応させ、inertia indexの計算により、交わりがcleanもしくはtransversalな場合のcompact exact lagrangianに対応するsheaf quantizationのHom空間の具体的な記述ができる(Th4.14, Th4.17)
[GP]では、separation theoremの証明がTh3.28で、invariance theoremの証明がTh6.1でなされている。
[GKS]では、homogeneous Hamiltonian isotopyのsheaf quantizationのlocally boundedの条件(Def1.12)のもとでの存在と一意性の証明がTh3.7でなされている。
疑問
- 標数pにおける特異台の議論は、偏屈層の理論をもとにして、代数的に定義されていた。Sheaves on manifoldsの複素代数多様体の議論を同様に実の定義を経由せずにできるか?
- 逆に、標数pにおいて、実構造に相当する下部空間の構成ができるか?単純には、Frobenius作用素でのひねりとして、shtuka的な構造になる?
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