タウ関数と行列積分

Matrix Models, Complex Geometry and Integrable Systems
http://arxiv.org/abs/hep-th/0601212v2

最初に直交多項式とToda-flowの関係を1-matrixの記述で説明している。
この記述は解り易い。

Matrix integrals, Toda symmetries, Virasoro constraints and orthogonal polynomials
http://arxiv.org/abs/solv-int/9706010v1

Toda-flowを用いて、簡単な場合の直交多項式について、
佐藤グラスマン多様体における流れを具体的に記述している。
とくに、Virasoro constraintsの導出を行っている。
また、タウ関数を行列積分の形で書いている。

パンルヴェ方程式(野海)
アファインルート系から、有理関数体の双有理変換群として、
対応する拡大アファインワイル群の作用が実現できる。
その中で並進に対応する部分はアーベル群であり、
一つのタウ関数の軌道がルート格子におけるタウ関数となっている。
とくに、A_1^{1},A_1^{2}型の場合が、
パンルヴェ方程式の2、4型に対応する。

Application of the τ-Function Theory of Painlev ́e Equations to Random Matrices: PIV, PII and the GUE
http://arxiv.org/abs/math-ph/0103025v1

Painleveの2,4型の場合の対称性についての記述。
A型のアファインワイル群の対称性を持ち、4型はHermite関数、2型はAiry関数を解に持つ。
U(N)の固有値の存在しない区間の確率をタウ関数を用いて表し、
極限がパンルベ方程式の解を用いて記述できることを示している。

RANDOM MATRICES AND PERMUTATIONS, MATRIX INTEGRALS AND INTEGRABLE SYSTEMS
http://www-math.univ-poitiers.fr/~vanhaeck/Pierre/art/29.Bourbaki_random.pdf
行列積分と戸田階層、ランダム行列についての2000年前後のサーベイ。

結局、タウ関数といった時に、
Boson-Fermion対応を通して、Boson側で見た時間の関数としてのタウ関数と、
それをHilbert空間の基底として、(もしくはformalにfiltered vector spaceの代表元)
時間の流れがKP階層なりToda階層なりに従っている場合に
代表元の関係式を表して全体としてタウ関数という場合の
二通りがあって、
意味が分かりにくくなっていたと理解した。
やっと、モノドロミー保存変形ででてくるタウ関数と、
テータ関数の親玉として出てくるタウ関数が、意味合い的には同じであることが納得できた。

middle convolution

Painlev ́e equations and the middle convolution
(http://arxiv.org/abs/math/0605384v1)
summary of DR
KATZ’S MIDDLE CONVOLUTION ALGORITHM(http://arxiv.org/abs/math/0610526v2)

アファイン直線上およびGL(1)で、加法と乗法それぞれに対して不変な局所系は、定数層およびKummer層に対応する。
これらを元にして、additive convolution,middle convolutionを行うことにより、rigid局所系がすべて得られる、というのが、
Rigid Local system(Katz)
で示されたのだった。
証明は偏屈層を用いた構成と、Laumonの有限体上のアファイン直線のフーリエ変換に対するstationary phaseの方法に依存していた。

これらは線形代数として記述できることが、Dettweiler-Reiterによって示された。

一方で、局所系の特異点を除いたpunctured Riemann surfaceの基本群の表現について、
Arithmetic harmonic analysis on character and quiver varieties II
(http://arxiv.org/abs/1109.5202v1)
で、
Characteristic varietyのmixed Hodge多項式の母関数は、特別な場合には、SL(2,Z)のEisenstein級数の母関数と関係がつくことが示されている。

Classification of Fuchsian systems and their connection problem
(http://arxiv.org/abs/0811.2916v2)
には、root系の性質とrigid local systemを与える分割の辞書がある。

Hyperbolic Structures and Root Systems
(http://www.math.ru.nl/~heckman/Hyperbolicstructures.pdf)

ガウスの超幾何関数は、一次元トーラスの一点で分岐する2次被覆面上に持ち上がる。
超幾何関数の２つの線形独立な解により、射影空間への有理写像が与えられるが、
これがガウスの超幾何関数の特異点{0,1,¥infty}を除いた空間の射影埋め込みを与えていて、
定義域、値域のパラメータのSchwarz微分と、元の方程式の正規化の係数が対応していた。
これをn次元トーラスの2次被覆空間上の関数に拡張すると、
トーリック多様体から因子を除いた開多様体の射影空間への写像を与える。

アファインroot系
超幾何関数
基本群のCharacteristic variety
Eisenstein series
モノドロミーの変形
が密接に関わり合っている。

見渡せば花ももみぢもなかりけり

本日、勤務先の親会社が監理ポスト(審査中)となりました。
Du bliebst, verwaistes Lied!


Littelmann paths and brownian paths
(http://arxiv.org/abs/math/0403171v2)

Perverse sheaves on a Loop group and Langlands' duality
(http://arxiv.org/abs/alg-geom/9511007v4)