* inner function, outer function
Banach Spaces Of Analytic Functions
(http://www.archive.org/details/banachspacesofan032699mbp)
のChapter 5にinner function, outer functionによる、
bounded holomorphic function on D(unit disc)の分解が説明されている。
A={f|D上hoomorphic, ∂D上連続}
とすると、f->f|∂D, μ->ポアソン核との畳み込み
により、
Aと{∂D上の連続関数で正のフーリエ係数が消える}
が対応する。
連続性を緩めて、
H^{p}={∂D上のL^{p}関数で正のフーリエ係数が消える}
とする。
f∈H^{1}のとき、
F(z)=exp{1/(2π)∫{-\pi}^{\pi}(e^iθ+z)/(e^iθ-z) log(|f(e^iθ)|)dθ}
とすると、FはD上の正則関数でとくにH^1に入る。
inner function: D上正則 |値|<=1 |境界での値|=1
outer function: k(θ)(∂D上の可積分関数)を用いてF(z)=const * exp{1/(2π)∫{-\pi}^{\pi}(e^iθ+z)/(e^iθ-z) k(θ) dθ}
とすると、
H^1の関数はinner functionとouter functionの積で書ける。
さらに、
inner functionはBlaschke積とsingular function(原点で正,Dで零点を持たない)の積で書ける。(p67)
* Jacobi行列のHerglotz関数の分解
A canonical factorization for meromorphic Herglotz functions on the unit disk and sum rules for Jacobi matrices
(http://www.math.caltech.edu/papers/bsimon/p288.pdf)
では、
Meromophic Herglotz functionについて、
Blaschke積とouter functionに分解されることを示している。
そこで、問題になるのは、J:Jacobi行列、J1:Jの第一行、第一列を取り除いた行列
について、それぞれのm-functionの関係であるが、
z->(z+1/z)により、引き戻したM-functionをみると、
(1.31)のような関係がある。
* OPUCの場合のm-functionの類似
Analogs of the m-function in the theory of orthogonal polynomials on the unit circle
(http://www.math.caltech.edu/papers/bsimon/xlii.pdf)
の§6に、
- Caratheodry function
- Schur function
と、それが何の類似かがまとめられている。
* 疑問
小谷さんの予稿集では、
q:ポテンシャル
->
σ:スペクトル測度
->
m-function
->
W
と対応させていた。
J->J1とすると、m,m1が対応するが、
さらに、W,W1とGr_{res}(2)内の空間が動く。
finite gapの場合、これはisospectral torus内の移動を引き起こすが、
ちゃんとそれを書き下してみること。
とくに、q=-m(m+1)p (pはWeirestrassのペー関数)
というLame型のポテンシャルのとき、
モノドロミー群はSchwarz triangleとして書き下せる。
この場合、きちんと書き下せるだろうか？
2010年9月27日月曜日
2010年9月20日月曜日
サマースクール復習その7
* Segal-Wilsonから
- Scaling operator on H
R_{λ}f(z)=f(z/λ) λ∈C-{0}
-- λ->0とした極限は、z^iの形の式で生成される空間になる。
-- Prop2.8 R_{λ}Wはreal analytic loopからなる空間。
- τ関数の定義とdeterminant bundle
-- Prop3.3 (3.5) 具体的にτ関数を行列式で表す式
-- m-solitonに対応するτ関数の計算
2つの射影直線を2重点で貼り合わせている特異有理曲線をみている。
- 擬微分作用素による固有関数の表示
-- Prop4.7 Lψ=z^nψをformal Baker functionとして表す。
- Baker関数ψ_{W}(g,z)
- formal Poincare bundleにおけるτ関数の値
-- lem5.15
(z,ζ)において、δ関数と定数関数を入れ替える操作を行うのがq_{ζ}(z)
すなわち、Fourier向井変換を行っている、とみなせる。
- Krichever map
-- Prop6.2 (X,L,x∞,z,φ)とWとの対応
-- Remark6.7 n=2の場合 Xは超楕円曲線でx∞はWeierstrass pointになる。
- Burchnall-Chaundy
-- Prop6.11 [P,L]=0ならF∈C[ξ,η]が存在し、F(P,L)=0
L,Pの同時固有関数について、固有値はほとんどFの定める曲線上にある。
さらにL,Pのformal Baker functionを用いて同時固有関数を表現できる。
- Plucker座標とSchur関数
-- Prop8.2 H_{S}に対応するτ関数はSchur関数を用いて表現できる
-- Prop8.3 transversalなWのτ関数はPlucker座標とSchur関数を用いて表現できる
- Scaling operator on H
R_{λ}f(z)=f(z/λ) λ∈C-{0}
-- λ->0とした極限は、z^iの形の式で生成される空間になる。
-- Prop2.8 R_{λ}Wはreal analytic loopからなる空間。
- τ関数の定義とdeterminant bundle
-- Prop3.3 (3.5) 具体的にτ関数を行列式で表す式
-- m-solitonに対応するτ関数の計算
2つの射影直線を2重点で貼り合わせている特異有理曲線をみている。
- 擬微分作用素による固有関数の表示
-- Prop4.7 Lψ=z^nψをformal Baker functionとして表す。
- Baker関数ψ_{W}(g,z)
- formal Poincare bundleにおけるτ関数の値
-- lem5.15
(z,ζ)において、δ関数と定数関数を入れ替える操作を行うのがq_{ζ}(z)
すなわち、Fourier向井変換を行っている、とみなせる。
- Krichever map
-- Prop6.2 (X,L,x∞,z,φ)とWとの対応
-- Remark6.7 n=2の場合 Xは超楕円曲線でx∞はWeierstrass pointになる。
- Burchnall-Chaundy
-- Prop6.11 [P,L]=0ならF∈C[ξ,η]が存在し、F(P,L)=0
L,Pの同時固有関数について、固有値はほとんどFの定める曲線上にある。
さらにL,Pのformal Baker functionを用いて同時固有関数を表現できる。
- Plucker座標とSchur関数
-- Prop8.2 H_{S}に対応するτ関数はSchur関数を用いて表現できる
-- Prop8.3 transversalなWのτ関数はPlucker座標とSchur関数を用いて表現できる
サマースクール復習その6
* right limit
Natural Boundaries and Spectral Theory
(http://arxiv.org/abs/1002.0823)
単位円D上のL^2正則関数fからDおよび∞を中心とする円D'上のL^2正則関数(f+,f-)
を作る操作として、right limitがある。
すなわち、
f=Σa_{n}z^nにたいして、|a_{n}|は有界であることから、
部分列n_{j}をとって、b_{n}:=lim {n->∞}{a_{n+n_{j}}}と定める。
f+(z)がDを超えて解析接続できる部分を見ると、
f+(z)+f-(z) = 0が成り立つ。
すなわち、reflectionless potentialの類似が成り立つ。
これは、(f+,f-)が表す∂D上の佐藤超関数のマイクロ関数の意味での特異スペクトルが、reflectionlessでない点、と言い換えられることを意味する。
有界Jacobi行列についても、{a_{n},b_{n}}から、同様にright limitをとることにより、a.c.スペクトルを見ることができる。
right limitのとり方はn_{j}の任意性から一意ではないが、
元のJacobi行列のa.c.スペクトルはright limitのa.c.スペクトルに含まれる。
Natural Boundaries and Spectral Theory
(http://arxiv.org/abs/1002.0823)
単位円D上のL^2正則関数fからDおよび∞を中心とする円D'上のL^2正則関数(f+,f-)
を作る操作として、right limitがある。
すなわち、
f=Σa_{n}z^nにたいして、|a_{n}|は有界であることから、
部分列n_{j}をとって、b_{n}:=lim {n->∞}{a_{n+n_{j}}}と定める。
f+(z)がDを超えて解析接続できる部分を見ると、
f+(z)+f-(z) = 0が成り立つ。
すなわち、reflectionless potentialの類似が成り立つ。
これは、(f+,f-)が表す∂D上の佐藤超関数のマイクロ関数の意味での特異スペクトルが、reflectionlessでない点、と言い換えられることを意味する。
有界Jacobi行列についても、{a_{n},b_{n}}から、同様にright limitをとることにより、a.c.スペクトルを見ることができる。
right limitのとり方はn_{j}の任意性から一意ではないが、
元のJacobi行列のa.c.スペクトルはright limitのa.c.スペクトルに含まれる。
2010年9月5日日曜日
サマースクール復習その5
* エルゴード性を持つ場合
Lyapunov Exponents and Spectral Analysis of Ergodic Schrodinger Operators: A Survey of Kotani Theory and its Applications
(http://arxiv.org/abs/math-ph/0605054)
Holder continuity of absolutely continuous spectral measures for one-frequency Schrodinger operators
(http://arxiv.org/abs/0912.3246)
* 絶対連続スペクトル
The absolutely continuous spectrum of Jacobi matrices
(http://arxiv.org/abs/0706.1101)
The absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schr"odinger operators
(http://arxiv.org/abs/0710.4128)
Uniqueness of reflectionless Jacobi matrices and the Denisov-Rakhmanov Theorem
(http://arxiv.org/abs/1006.2780)
On the Measure of the Absolultely Continuous Spectrum for Jacobi Matrices
(http://arxiv.org/abs/1007.5033)
[169] (with P. Deift) Almost periodic Schrodinger operators, III. The absolutely continuous spectrum in one dimension, Commun. Math. Phys. 90 (1983), 389-411
(http://www.math.caltech.edu/SimonPapers/169.pdf)
* homogenius set
Cantor集合のような集合の補集合について、
普遍被覆面と保型形式をみている。
Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set
(http://arxiv.org/abs/math/0205332)
Remark on the paper "Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set"
(http://arxiv.org/abs/math/0611856)
* Killip-Simon theory
Sum Rules for Jacobi Matrices and Their Applications to Spectral Theory
(http://arxiv.org/abs/math-ph/0112008)
J0をChebyshev多項式に対応するJacobi行列として、
いつ、J-J0がHilbert-Schmidtになるか？
ということを問題にしている。
Sum rules and spectral measures of Schrodinger operators with L^2 potentials
(http://arxiv.org/abs/math/0608767)
Lyapunov Exponents and Spectral Analysis of Ergodic Schrodinger Operators: A Survey of Kotani Theory and its Applications
(http://arxiv.org/abs/math-ph/0605054)
Holder continuity of absolutely continuous spectral measures for one-frequency Schrodinger operators
(http://arxiv.org/abs/0912.3246)
* 絶対連続スペクトル
The absolutely continuous spectrum of Jacobi matrices
(http://arxiv.org/abs/0706.1101)
The absolutely continuous spectrum of one-dimensional Schr"odinger operators
(http://arxiv.org/abs/0710.4128)
Uniqueness of reflectionless Jacobi matrices and the Denisov-Rakhmanov Theorem
(http://arxiv.org/abs/1006.2780)
On the Measure of the Absolultely Continuous Spectrum for Jacobi Matrices
(http://arxiv.org/abs/1007.5033)
[169] (with P. Deift) Almost periodic Schrodinger operators, III. The absolutely continuous spectrum in one dimension, Commun. Math. Phys. 90 (1983), 389-411
(http://www.math.caltech.edu/SimonPapers/169.pdf)
* homogenius set
Cantor集合のような集合の補集合について、
普遍被覆面と保型形式をみている。
Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set
(http://arxiv.org/abs/math/0205332)
Remark on the paper "Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set"
(http://arxiv.org/abs/math/0611856)
* Killip-Simon theory
Sum Rules for Jacobi Matrices and Their Applications to Spectral Theory
(http://arxiv.org/abs/math-ph/0112008)
J0をChebyshev多項式に対応するJacobi行列として、
いつ、J-J0がHilbert-Schmidtになるか？
ということを問題にしている。
Sum rules and spectral measures of Schrodinger operators with L^2 potentials
(http://arxiv.org/abs/math/0608767)
サマースクール復習その4
* 半直線上のシュレーディンガー作用素の場合のポテンシャルとWeyl関数の対応
A new approach to inverse spectral theory, I. Fundamental formalism
(http://arxiv.org/abs/math/9906118)
A new approach to inverse spectral theory, II. General real potentials and the connection to the spectral measure
(http://arxiv.org/abs/math/9809182)
A-functionを間におくことで、逆スペクトル問題を解いている。
Connectedness of the Isospectral Manifold for One-Dimensional Half-Line Schrodinger Operators
(http://arxiv.org/abs/math/0307007)
この辺りのreviewは、
Inverse spectral theory as influenced by Barry Simon
(http://arxiv.org/abs/1002.0388)
にまとめられている。
A new approach to inverse spectral theory, I. Fundamental formalism
(http://arxiv.org/abs/math/9906118)
A new approach to inverse spectral theory, II. General real potentials and the connection to the spectral measure
(http://arxiv.org/abs/math/9809182)
A-functionを間におくことで、逆スペクトル問題を解いている。
Connectedness of the Isospectral Manifold for One-Dimensional Half-Line Schrodinger Operators
(http://arxiv.org/abs/math/0307007)
この辺りのreviewは、
Inverse spectral theory as influenced by Barry Simon
(http://arxiv.org/abs/1002.0388)
にまとめられている。
サマースクール復習その3
* Chebyshev多項式
I=[-2,2]の場合、Dを単位円盤として、被覆写像
x:D->C∪{∞}-I
は、x(z)=z+z^(-1)
で与えられる。
境界での写像は、x(exp(iθ))=2cos(θ)となる。
鏡像の原理により、D'={z||z|>1}として、
xをx:D∪D'∪∂D=P^1->P^1
と拡張する。
これは、x:Gm->A^1
(Gm=C-{0} 乗法群において、元と逆元を同一視)
とも見ることができるから、
Gmの群構造と可換な多項式が存在すると思われる。
T_{d}(x(z))=x(z^d)
なる多項式が実際存在して、Chebyshev多項式と呼ばれる。
Chebyshev多項式が基本的なのは、
対角成分が0で、1こずれた成分がすべて1のJacobi行列J0
に対応している、
という点。
(ex. Silverman The Arithmetic of Dynamical systems Chapter6)
Gmではなく楕円曲線に対応するLattes mapでは、
似たような話はない。
これは、
Chebyshev多項式から生成される力学系のJulia集合が、I=[-2,2]
であること、
Lattes mapのJulia集合がP1全体になること、
が関係していると思われる。
I=2つの閉区間の和
をスペクトルにもつJacobi行列について、
そのisospectral torusとLattes mapに
なにかnon-tribialな関係があるか、
興味がでてくる。
I=[-2,2]の場合、Dを単位円盤として、被覆写像
x:D->C∪{∞}-I
は、x(z)=z+z^(-1)
で与えられる。
境界での写像は、x(exp(iθ))=2cos(θ)となる。
鏡像の原理により、D'={z||z|>1}として、
xをx:D∪D'∪∂D=P^1->P^1
と拡張する。
これは、x:Gm->A^1
(Gm=C-{0} 乗法群において、元と逆元を同一視)
とも見ることができるから、
Gmの群構造と可換な多項式が存在すると思われる。
T_{d}(x(z))=x(z^d)
なる多項式が実際存在して、Chebyshev多項式と呼ばれる。
Chebyshev多項式が基本的なのは、
対角成分が0で、1こずれた成分がすべて1のJacobi行列J0
に対応している、
という点。
(ex. Silverman The Arithmetic of Dynamical systems Chapter6)
Gmではなく楕円曲線に対応するLattes mapでは、
似たような話はない。
これは、
Chebyshev多項式から生成される力学系のJulia集合が、I=[-2,2]
であること、
Lattes mapのJulia集合がP1全体になること、
が関係していると思われる。
I=2つの閉区間の和
をスペクトルにもつJacobi行列について、
そのisospectral torusとLattes mapに
なにかnon-tribialな関係があるか、
興味がでてくる。
サマースクール復習その2
* 簡単な場合の説明
シュレーディンガー作用素の離散版が、Jacobi行列。
さらに、(-∞,0]∪[0,∞)という時間の分解に対応して、
a)有限行列、
b)行列を正の添え字のみ考える半無限行列、
c)正負両方の添え字を考える両無限行列、
がある。
a)
Jacobi行列のスペクトル測度について、
essential supportが有限集合であることと、
Jacobi行列が有限行列であること、
は同値。
(ex. Deift Orthogonal Polynomial and Random Matrices 2.5)
b)
半無限Jacobi行列は、連分数と関係する。
(ex. Deift Orthogonal Polynomial and Random Matrices 4.3)
この連分数との関係は、
いわゆるm-functionをみることで具体的になる。
Jacobi行列のスペクトル測度の絶対連続部分のsupportが、
区間の有限和になる場合をみる。
区間の有限和をIとする。
C-Iは単位円を普遍被覆面に持つので、話を単位円上に引き戻して考えるのが効果的。
この方針で話を進めているのが、
Finite Gap Jacobi Matrices, I. The Isospectral Torus
(http://arxiv.org/abs/0810.3273)
で、m-functionを、被覆群に付随するテータ関数で具体的に書き表している。
この辺りの議論は、Gerritzen van der Putの本の議論とも類似していて、
Berkovich上半平面で同等の議論をしたくなる。
無論、そのためには、
- スペクトル測度
- Blashcke積
といった辺りをきちんと見る必要がある。
シュレーディンガー作用素の離散版が、Jacobi行列。
さらに、(-∞,0]∪[0,∞)という時間の分解に対応して、
a)有限行列、
b)行列を正の添え字のみ考える半無限行列、
c)正負両方の添え字を考える両無限行列、
がある。
a)
Jacobi行列のスペクトル測度について、
essential supportが有限集合であることと、
Jacobi行列が有限行列であること、
は同値。
(ex. Deift Orthogonal Polynomial and Random Matrices 2.5)
b)
半無限Jacobi行列は、連分数と関係する。
(ex. Deift Orthogonal Polynomial and Random Matrices 4.3)
この連分数との関係は、
いわゆるm-functionをみることで具体的になる。
Jacobi行列のスペクトル測度の絶対連続部分のsupportが、
区間の有限和になる場合をみる。
区間の有限和をIとする。
C-Iは単位円を普遍被覆面に持つので、話を単位円上に引き戻して考えるのが効果的。
この方針で話を進めているのが、
Finite Gap Jacobi Matrices, I. The Isospectral Torus
(http://arxiv.org/abs/0810.3273)
で、m-functionを、被覆群に付随するテータ関数で具体的に書き表している。
この辺りの議論は、Gerritzen van der Putの本の議論とも類似していて、
Berkovich上半平面で同等の議論をしたくなる。
無論、そのためには、
- スペクトル測度
- Blashcke積
といった辺りをきちんと見る必要がある。
サマースクール復習その1
小谷さんのサマースクール講義の復習
(ただし、一番重要な3日目の講義を寝倒したため、
講演者の意図とずれた形で理解している箇所が多々あるはず)
* 参考
1次元シュレーディンガー作用素における無反射性に関連する話
(http://www.eonet.ne.jp/~kotani/kennkyuu.files/touhokuseminar.pdf)
* 問題
1次元シュレーディンガー作用素において、
スペクトルが絶対連続スペクトルのみの場合、
ポテンシャルは概周期関数であるか？
* 問題の根拠
- ポテンシャルqを与えたとき、
qが簡単な形の場合には、
qは概周期関数になる。
既存の例でわかっているのは、
- n-KdV(nodeを特異点として無限個許す有理曲線)
- 周期関数(無限種数も含む超楕円曲線)
* 根拠の佐藤理論による言い換え
- Segal-Wilson型の佐藤理論の一般論(記号はSWを流用)
W∈Gr(H)のΓ軌道をみる。
軌道が有限次元のとき、代数曲線Cが存在し、
一般化されたヤコビアンJac(C)について、
ΓW->Jac(C)という全射が存在する。
Wに付随するτ関数τ_{W}(g)はJac(C)上の概周期関数である、
テータ関数として実現される。
- シュレーディンガー作用素の場合の制限
1. ポテンシャルは実数値関数である
リーマン面が対応するとすれば、
それは実構造をもっている。
2. 作用素の主要項が-(d/dx)^2を持つ
したがって、リーマン面が対応するとすれば、
それは、射影直線への2重被覆となっている。
また、固有値の形はλ=-z^2。
- シュレーディンガー作用素の場合の制限から来るWの条件
1. Wは実構造と両立する必要がある
2. W∈Gr(2) i.e. z^2W⊂W
(ただし、一番重要な3日目の講義を寝倒したため、
講演者の意図とずれた形で理解している箇所が多々あるはず)
* 参考
1次元シュレーディンガー作用素における無反射性に関連する話
(http://www.eonet.ne.jp/~kotani/kennkyuu.files/touhokuseminar.pdf)
* 問題
1次元シュレーディンガー作用素において、
スペクトルが絶対連続スペクトルのみの場合、
ポテンシャルは概周期関数であるか？
* 問題の根拠
- ポテンシャルqを与えたとき、
qが簡単な形の場合には、
qは概周期関数になる。
既存の例でわかっているのは、
- n-KdV(nodeを特異点として無限個許す有理曲線)
- 周期関数(無限種数も含む超楕円曲線)
* 根拠の佐藤理論による言い換え
- Segal-Wilson型の佐藤理論の一般論(記号はSWを流用)
W∈Gr(H)のΓ軌道をみる。
軌道が有限次元のとき、代数曲線Cが存在し、
一般化されたヤコビアンJac(C)について、
ΓW->Jac(C)という全射が存在する。
Wに付随するτ関数τ_{W}(g)はJac(C)上の概周期関数である、
テータ関数として実現される。
- シュレーディンガー作用素の場合の制限
1. ポテンシャルは実数値関数である
リーマン面が対応するとすれば、
それは実構造をもっている。
2. 作用素の主要項が-(d/dx)^2を持つ
したがって、リーマン面が対応するとすれば、
それは、射影直線への2重被覆となっている。
また、固有値の形はλ=-z^2。
- シュレーディンガー作用素の場合の制限から来るWの条件
1. Wは実構造と両立する必要がある
2. W∈Gr(2) i.e. z^2W⊂W
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