幾何的に定義される代数
moment mapが使用される状況
[G98]では、積(と余積)をcycleによるcorrespondenceにより定義する、という形で、
- 単純代数群のWely群の群環
- universal envelopping algebraのイデアルによる商
が構成されていた。
[G98]5. Sheaf-theoretic analysis of the convolution algebra
において、proper mapμ:M→N からZ:=M×NM により、
H∙(Z) に積が定義される。
Prop5.1で定数層のpushforwardから
H∙(Z)=Ext∙(μ∗CM,μ∗CM)
と代数の同型がある。
そのため、層が偏屈層として解釈できる場合には、decompositionを見ることにより、
積が詳細に理解できる場合がある。
N がstratificationを持つ場合でμ がsemi-smallである場合が、そのような場合になる。
(Th5.4)
[G98]5. Sheaf-theoretic analysis of the convolution algebra
において、proper map
Prop5.1で定数層のpushforwardから
と代数の同型がある。
そのため、層が偏屈層として解釈できる場合には、decompositionを見ることにより、
積が詳細に理解できる場合がある。
(Th5.4)
Wely群の群環の場合、用いられているのは、
Springer resolutionμ:N~=T∗B→N
で、Th6.4でμ が(strictly)semi-smallであると述べられている。
この場合、Z=M×NM はSteinberg varietyと呼ばれ、
x∈N のGにおけるcentralizerを見ることにより、
N のregular semisimple部分から、Weyl群のetaleな作用が得られ(Prop9.3)、
Prop9.1、Cor9.2によりZ によるWeyl群の群環の記述が得られる。
Th12.7の後のRemarkに同変K群などに拡張した場合の代数の構造が記述されている。
Springer resolution
で、Th6.4で
この場合、
Prop9.1、Cor9.2により
Th12.7の後のRemarkに同変K群などに拡張した場合の代数の構造が記述されている。
数論の場合
数論においては、l進とp進の場合それぞれに、
上記のWeyl群のLagrangianによる幾何学的構成の類似が存在する。
上記のWeyl群のLagrangianによる幾何学的構成の類似が存在する。
l進層の特性サイクル
Weyl群の群環の場合は、Symplectic resolutionがあり、
そこからSteinvberg varietyを構成した。
l進層の場合は、Galois拡大が退化している状況を作り出すために、
blow-upを用いる。(1.3,1.4の議論)
Weyl群の場合のregular semisimpleな部分に対応するのがetale locusで、
それをblow-upの部分まで出来る限り拡げ、亜群を構成する。
これがSteinberg varietyの類似となるが、
標数pの場合は、命題1.6によりfiberと分岐群が結び付けられ、
定理1.10により、微分形式と結びつく。
Weyl群の場合のLie環のroot分解に対応して、slope filtrationがある。
また、Weyl群の場合は、Fourier変換により、双対性を利用し、
かつ内積による同一視の議論ができたが、
l進層の場合は、Radon変換を用いて双対性を利用する。(2.4)
そこからSteinvberg varietyを構成した。
l進層の場合は、Galois拡大が退化している状況を作り出すために、
blow-upを用いる。(1.3,1.4の議論)
Weyl群の場合のregular semisimpleな部分に対応するのがetale locusで、
それをblow-upの部分まで出来る限り拡げ、亜群を構成する。
これがSteinberg varietyの類似となるが、
標数pの場合は、命題1.6によりfiberと分岐群が結び付けられ、
定理1.10により、微分形式と結びつく。
Weyl群の場合のLie環のroot分解に対応して、slope filtrationがある。
また、Weyl群の場合は、Fourier変換により、双対性を利用し、
かつ内積による同一視の議論ができたが、
l進層の場合は、Radon変換を用いて双対性を利用する。(2.4)
Q: 下付き分岐群と上付き分岐群の対応を、トーラスの座標を固定して、
secondary polytopeの議論を持ち込めないか?
Q: Nakajima varietyのような良いmoduli空間を設定して、分岐群に対して代数を定義できないか?
とくに、変形空間として、量子コホモロジーに対応する概念がほしい。
(元々Springer resolutionはl進偏屈層の言葉で書かれていた)
Q: l進層におけるsymplectic resolutionやmoment mapに対応する概念の辞書は存在するか?
secondary polytopeの議論を持ち込めないか?
Q: Nakajima varietyのような良いmoduli空間を設定して、分岐群に対して代数を定義できないか?
とくに、変形空間として、量子コホモロジーに対応する概念がほしい。
(元々Springer resolutionはl進偏屈層の言葉で書かれていた)
Q: l進層におけるsymplectic resolutionやmoment mapに対応する概念の辞書は存在するか?
Lubin-Tate
p進の場合において、etaleなfiberがconnectedな場合に退化していく代表例は、
p-divisible groupで、その変形を記述するmoduliとしては、
elliptic curveのp冪レベル付きのmoduliが代表的な例になる。
退化している部分は、supersingular partであるが、
perfectoidの言葉を用いると、inifinite levelでの議論を幾何学的に行うことが出来る(ようだ)。
p-divisible groupで、その変形を記述するmoduliとしては、
elliptic curveのp冪レベル付きのmoduliが代表的な例になる。
退化している部分は、supersingular partであるが、
perfectoidの言葉を用いると、inifinite levelでの議論を幾何学的に行うことが出来る(ようだ)。
Nakajima varieties
- Lectures on Nakajima’s Quiver Varieties
- Quantum Groups and Quantum Cohomology
- Quiver varieties and tensor products, II
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