2018 Euler-Poincare

文献

• [Katz] Gauss Sums, Kloosterman Sums, and Monodromy Groups
• [Laumon1] Transformation de Fourier, constantes d’équations fonctionnelles et conjecture de Weil
• [Laumon2] Semi-continuité du conducteur de Swan (d’après P. Deligne)
• [Laumon3] Caractéristique d’Euler-Poincaré des faisceaux constructibles sur une surface

Grothendieck-Ogg-Shafarevich

• [Katz]では、8.5 Numerology of Fourier TransformでNaive Fourier transform(NFT)のrankについて記述している
  
  • affine直線のEuler-Poincare formula(8.5.2)
  • NFTがsmoothになる点の無限遠点でのSwan conductorによる評価(8.5.3)
  • slope(=break?)が>1,=1,<1の場合にArtin-Schreier層とのtensor積のslopeの評価、Swan conductorのslopeによる表示式(8.5.4, 8.5.5)
  • largest smooth open subsetのslopeによる表示式(8.5.6)
  • 特にslopeが>1, !=1,>=1の場合の0でのsmoothness(8.5.8)

• [Laumon1]では、[Katz]の式を用いて公式を導出している

  • NFTのrank公式(Prop2.3.1.1)
  • 特別な場合の公式(Cor2.3.1.3)
  • local Fourier Transformの定義(Def2.4.2.3)
  • local Fourier Transformのrank公式(Th2.4.3)

  lower semi-continuity

  [Laumon2]では、henselian trait上のrelative curveの場合に、Swan conductorのlower semi-continuityを証明している

• Swan character, Swan representation, Swan conductor
  
  • Swan conductorの計算例(Example1.1.7)
  • GOS formula(1.2)
  • general fiberとspecial fiberのEuler数の差をvanishing cycleで表す式(1.3.4.7)
• total dimensionのlower semi-continuity(Delgine, Th2.1.1)
  
  • constructibityをconductorの計算に帰着(3.9の具体的な計算)
  • base change(Th4.1.2 isolated singularityがある場合)によりstrict local henserianに帰着
  • properの場合のTh5.1.1に帰着
• Th5.1.1の証明の準備(6 deformation)
  
  • Prop6.1.1
  • 無限遠$F^{\sim}$での分岐を消す拡大を探す
  • base$S$を超越次元1の拡大によりbase changeすることで、lem6.3.4.1の前の図にあるように水平をずらす。これにより$x$上でetaleという性質を満たすように変形できる。
• Th5.1.1の証明
  
  • (7.1.1)を(7.1.2)の場合に帰着
  • $\Delta\chi$をvanishing cycleで表し、$\pi^{-1}(x)$上と$F^{\sim}_{s}$上の計算に帰着させ、後者はProp6.1.1の性質から打ち消し合う(7.3.1)
  • (7.3.1)から(7.2.1)により(7.1.2)が導出される

Lefschetz pencil

[Laumon3]では、surface上のnon feroceな場合のEuler-Poincare formulaをLefschetz pencilを用いて証明している。

• Euler Poincare formula(Th1.2.1)
  
  • sheafのEuler数をsmoothな開空間、分岐している空間と分岐の程度の情報で記述するGOSの拡張
  • feroce, non-feroceの例としてExample2.2.1でArtin-Schreier拡大の場合を取り扱っている。これはFourier変換の場合にでてくるもので、feroceの場合は分岐理論が整備されないと記述できない。ここではnon-feroceのみ対象。
• $Sw_{x}(F,f)$の定義(Def2.3.5)
• Lefschetz pencilによりsurface上のEuler数を射影直線上のEuler数に帰着させ、GOS公式を用いる(3.1.4, 3.1., 3.1.107)
• $(X,f,F)$がlocal acyclicityを満たさない点の集合(Figure3.2.4)
  
  • singular points in the fiber(この寄与は$F$がsmoothより消える)
  • $Y^{0}$を通る点(Th3.2.3よりnearby-cycleが消えることから寄与しない)
  • $Y-Y^{0}$を通る点(寄与が残る)
  • $Y_{j}^{0}$に接する点(射影空間へdegreeを高めて埋め込むことにより寄与が消えることが示される (4.4.2),4.5)
• 2.3.6の証明
  
  • 一つの項だけを変化させるpencil(4.6)

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2018 t-structure

参考文献

• [B] Stability conditions on triangulated categories
• [DK] Enhanced perversities
• [K1] T-structures on the derived categories of D-modules and O-modules
• [K2] Self-dual T-structure

generalized t-structure

[B]では、

• stabilityを定義(Def1.1)
• t-structureの定義(Def3.1)
• slicingの定義(Def3.3)
• slicingから構成されるquasi-abelian categoryの定義と性質(Def4.1,lem4.3)
• stability conditionとbounded t-structure(+α)の同値性(Prop5.3)

が記述されている。

[K2]では、

• phaseに合わせて実数で添字付けられたgeneralized t-structureの定義(Def1.2)
• torsion pairに対するt-structure(3)
• 連接層に関するself dual t-structure(4)
• 実構造に関するself dual t-structure(5)
  
  • 定義(5.2)
  • t-structureになること(Th5.5 )
  • 関手によるperversityの振る舞い(Prop5.10)
• 複素構造に関するmiddle perversityのmicrolocalな特徴づけ(Th6.2)

が記述されている。

[DK]では、

• enhanced perversityの定義(Def3.5.1)
• t-structureになること(Th3.5.2)

が記述されている。

疑問

• Neron modelの導来圏におけるt-structureによる特徴づけは可能か?
• 双有理同値の場合の可構層の導来圏の関係は分解定理から同値に近いことが言えるか?
• etale層のgeneralized t-structure　とくにsemi-smallnessをGalois群の暴分岐、上付きfiltrationと関連付けられないか?
• log structureの拡張としてのStokes構造もどきの組み合わせ構造

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2018 偏屈層のお勉強

参考文献

• [BBD] Faisceaux pervers
• [CM] Hodge-theoretic aspects of the Decomposition Theorem
• [W1] The Hodge theory of the Decomposition Theorem (after de Cataldo and Migliorini)
• [W2] AN ILLUSTRATED GUIDE TO PERVERSE SHEAVES

Glueing

[BBD]

• 三角圏における操作
  
  • TR4を用いたmapping cone間の射の構成(1.1.6,1.1.7,1.1.8)
  • mapping coneの不定性を除くためのProp(Prop1.1.9,Cor1.1.10)
  • 三角圏のadmissible-部分アーベル圏のker,cokerの性質(Prop1.2.2)
• t-structure
  
  • t-structureの定義(Def1.3.1)
  • truncation functorの定義(Prop1.3.3)
  • coreがextension-stableなadmissible-部分アーベル圏となること(Th1.3.6)
  • t-exact functorの合成などの性質(Prop1.3.17)
• 1.4では、貼り合わせについて記述している。
  
  • open embedding とcomplementから生じるdistinguished triangle(1.4.1.1)
  • Cor1.1.10を使うための前提の確認(1.4.3.3)
  • 三角圏のexact sequence(Prop1.4.5)
  • 具体的なtriangleの構成要素の確認(1.4.7)
  • t-structureによる三角圏の貼り合わせ(Th1.4.10)
  • trivialなt-structureの構成(1.4.13)とその合成による貼り合わせ(1.4.13.1)
• intermediate extention
  
  • intermediate extentionの定義(Def1.4.22)
  • truncationを用いた記述(Prop1.4.23)
  • 拡張のuniquenessと性質(Cor1.4.24)
  • subquotientのsupportの性質(Cor1.4.25)
  • simplenessの保存(Prop1.4.26)

Lefschetzの定理

[W1]

• Hodge theory
  
  • Hard Lefschetz theorem(Th1.2)
  • Hodge-Riemann bilinear relation(Th1.4)
  • Artinによるaffine mapでのcohomological dimensionの上限
  • weak Lefschetz theorem(Th1.9)
  • decomposition theoremの原型(Th1.11) source:smoothのprojective map
• semi-small map
  
  • semi-small mapの定義(Def2.1)
  • semi-small mapがperverse sheavesを保つこと(Prop2.2)
  • semi-small classに対するHard Lefschetz theorem(Th2.9)
  • local intersection formがnon-degenerateであることとdecomposition theoremが成り立つことが同値(Prop2.17)
  • semi-small index theorem(Th2.18)
  • Hodge-Riemann(Th2.9)→semi-small index(Th2.18)→decomposition theoremが成り立つ(Th2.4)
• general map
  
  • Decomposition theorem package(3.1)
  • perverse filtrationはpure Hodge substructureからなる(Prop3.6)
  • primitive decomposition(Cor3.10)
  • Hodge Riemann bilinear relation(Th3.12)
  • Decomposition theorem packageを用いた帰納法のためにdefect of semi-smallnessを定義(3.2)
  • universal hyperplane sectionを用いた帰納法(Prop3.17,Cor3.18)
  • Relative Hard Lefschetz theorem(Rem3.21)

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2018 シンプレクティック幾何学

生成関数、接触構造、Lagrangian

• [Viterbo] An Introduction to Symplectic Topology through
  Sheaf theory

non-displaceability

• [GKS] Sheaf quantization of Hamiltonian isotopies and applications to non displaceability problems
• [GP] Microlocal theory of sheaves and Tamarkin’s non displaceability theorem
• [Ike]Compact exact Lagrangian intersections in cotangent bundles via sheaf quantization

[Ike]では、[GKS]の流れの解説と拡張を説明している。

• 2つのcompact setsがnondisplaceabilityとは、どんなHamiltonian diffeomorphismで移しても交わりが空にならないこと
• Hamiltonian isotopyに対してLagrangianが構成され、その量子化として層が構成される(Th3.1)
• nondisplaceabilityという幾何的な条件をとある圏のHom空間の条件に翻訳する(Th3.11)
  • separability theorem: 2つのcompact setの交わりが空ならHom空間は0(Th3.5)
  • invariance theorem: Hamiltonian diffeomorphismに対して圏の間手が対応し、objectはisoになるように商圏を取ることができる(Th3.10)
• 圏 D(M),商圏 T(M)の定義(Def3.3, Def3.8)
• compact exact Lagrangianのsimple sheaf quantization(3.3)
  • 層に対してsingular supportが定義され、conic Lagrangianになる
  • compact exact Lagrangianは一般にconicではないが、conificationという操作を行うことができる(3.21)
  • conificationされたLagrangianに対して、量子化された層が唯一存在する(Th3.13)
  • その層はconified Lagrangianに沿ってsimpleになり、simple sheaf quantizationと呼ばれる
• Hom空間の具体的な記述
  • singular supportは層の挙動が変わる領域を超局所的に見ている
  • Hom空間を見るには、μhomのMorse理論的なパラメータ変化を見る(Prop4.7,lem4.9,Prop4.11)
  • Sheaves on manifoldsのCh7の議論を用いて、Hamilton isotopyのquantizationからquantum contact transformationを対応させ、inertia indexの計算により、交わりがcleanもしくはtransversalな場合のcompact exact lagrangianに対応するsheaf quantizationのHom空間の具体的な記述ができる(Th4.14, Th4.17)

[GP]では、separation theoremの証明がTh3.28で、invariance theoremの証明がTh6.1でなされている。
[GKS]では、homogeneous Hamiltonian isotopyのsheaf quantizationのlocally boundedの条件(Def1.12)のもとでの存在と一意性の証明がTh3.7でなされている。

疑問

• 標数pにおける特異台の議論は、偏屈層の理論をもとにして、代数的に定義されていた。Sheaves on manifoldsの複素代数多様体の議論を同様に実の定義を経由せずにできるか?
• 逆に、標数pにおいて、実構造に相当する下部空間の構成ができるか?単純には、Frobenius作用素でのひねりとして、shtuka的な構造になる?

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2018 Fourier変換の対応

conify

• [GS] Microlocal theory of sheaves and Tamarkin’s non displaceability theorem
  [GS]では、Tamarkin categoryを§4で定義している。
  これは、実球面が1次元以上では連結だが、0次元実球面が2点であることを反映して、normal coneへの変形の片側を取り出すことを、圏論的に言い換えたもの。

Riemann-Hilbert対応

• [AK] Riemann-Hilbert correspondence for holonomic D-modules
  不確定特異点を含めた場合のRiemann-Hilbert対応。
  Tamarkin categoryをBordered spacesとして定義し直して、enhanced ind-sheavesの圏を定義し、それを行き先として対応を付けている。

enhanced Fourier-Sato変換とFourier-Laplace変換

• [AK2] A microlocal approach to the enhanced Fourier-Sato transform in dimension one
• [KS] Irregular holonomic kernels and Laplace transform

[KS]では、Fourier-Laplace変換をde-Rham関手で移すとenhanced Fourier-Sato変換に対応することが示されている(Th1.4)。

quiver

• [AHMS] Topological computation of some Stokes phenomena on the affine line

複素一次元affine lineの場合に、quiverの言葉でFourier-Laplace変換の行き先を記述している。
(microlocalには)クラスター代数が現れるが、この論文では言及されていない。

標数pの場合

• [B] Constructible sheaves are holonomic
• [S1] The characteristic cycle and the singular support of a constructible sheaf
• [S2] Ramification groups of coverings and valuations

標数pのl進層の場合、Fourier-Laplace変換に対応するのはFourier-Deligne変換、enhanced Fourier-Sato変換に対応するのはRadon変換。
l進層は暴分岐を込めてsingular support, characteristic cycleが定義される。しかし、複素数の場合と異なり、enhaned ind sheavesの言葉は必要としていない。
[B]では、複素数のvanishing cycleを用いたsingular supportの特徴づけ(Sheaves on manifolds Prop8.6.4)を逆手に取って、weakly microsupportの概念を定義し、 Radon変換によるramification divisorとしてsingular supportの存在を示している。

標数pのCFT

• [W] $l$-adic cohomological field theories of dormant opers

疑問

[W]の議論を、Airy関数によるtopological recurtionを用いた組み合わせの議論として捉えることが出来ないか?

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2018 次元に関する帰納法

base change theorem

• [LANDESMAN] THE SMOOTH BASE CHANGE THEOREM
• [SGA4h] COHOMOLOGIE ETALE

[SGA4h]では、

• proper base change theorem
  をelementary fibrationを用いて相対1次元の場合に帰着させることで証明している。(EXPOSE 1.4)
• smooth base change theorem
  open immertionのlocally acyclicityを示すことが要点。(EXPOSE1. th 5.2.1)

V-filtration

• [Budur] On the V-filtration of D-modules
• [Lonergan] The V -filtration and vanishing and nearby cycles

b-function

How to glue perverse sheaves

• [Lichtenstein] Vanishing cycles for algebraic D-modules
• [Reich] Notes on Beilinson’s “How to glue perverse sheaves”

local monodromy theorem

• [Katz] NILPOTENT CONNECTIONS. AND THE MONODROMY THEOREM : APPLICATIONS OF A RESULT OF TURRITTIN

mixed Hodge modules

• [Saito1] Hodge加 群について
• [Saitoh2] A young person’s guide to mixed Hodge modules
• [Schnell] An overview of Morihiko Saito’s theory of mixed Hodge modules

mixed twistor D-modules

• [Mochizuki] Mixed twistor D-modules

PartⅠでR-tripleを用いた貼り合わせを議論している。

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2018 adic space

adic space

• [Scholze] Peter Scholze’s lectures on p-adic geometry
• [Wedhorn] Adic Spaces

[Wedhorn]では、adic spaceの基礎について詳しい記述がある。

• totally ordered groupに対して、
  
  • convex subgroupの概念(Def1.7)
  • convex subgroupsの数としてのheightの定義(Def1.13)
  • cofinalの概念(Def1.16)
• valuation ringに対して、
  
  • value group $\Gamma$ のconvex subgroupとvaluation ringの対応(Prop2.14)
• ring $A$に対して、
  
  • valuation spectrum $Spv A$の定義(Def4.1)
  • $Spv A \rightarrow Spec A$の定義(Rem4.6)
• valuation $v$に対して、
  
  • supp(v)の定義
  • $A(v)\subset K(v)=Frac(A/(supp(v)))$の定義(Def4.12)
  • vertical specialization,generalizationの定義(Def4.12)
  • vertical generalizationとconvex subgroupの対応(Rem4.12)
  • characteristic subgroup $c\Gamma_{v}$の定義(Def4.13)
  • horizontal specialization,generalizationの定義(Def4.16)
  • horizontal specializationとv-convex prime idealsの対応(Prop4.18)
  • vのspecializationがvertical or horizaontalで特徴づけできること(Prpo4.21)
• valuationによって定まるtopology
  
  • ring Aのvaluation v によるtopologyの定義(Def5.39)
  • 2つのvaluationのindependent,dependentの定義(Def5.43)
  • microbialの定義(Def5.46)
• Huber ring(or f-adic ring)の定義(Def6.1)
  
  • topologically of finite typeの定義(Def6.28,6.29)
• A:ring I:an idealに対して、
  
  • $c\Gamma_{v}(I)$の定義(Def7.3)
  • Spv(A,I)の定義(7.4.1)
  • continuous valuations Cont(A)の定義(Def7.7)
  • Cont(A)の特徴づけ(Th7.10)またspectral spaceになること(Cor7.12)
• affinoid ring(Huber pair)の定義(Def7.14)
• adic spectrum Spa Aの定義(Def7.23)
  
  • rational subsetsの定義(Def7.29)
  • Spa Aの性質(Th7.35)
  • analytic pointsの定義(Def7.39)
• 完備化に対する対応(lem7.47,Prop7.48)
• adic spaceの定義(Def8.20,8.21)
  
  • f-adic ringがsheafyの定義(Def8.25)
  • adic spaceのfiber productの定義(条件付き)(Th8.55)
  • non archimedian field上のschemeからadic spaceを構成する手続き(Def8.63)

etale topology

• [Huber] Étale Cohomology of Rigid Analytic Varieties and Adic Spaces

疑問

• adic spaceでの分岐理論
• value groupと分岐filtrationの関係
• Stokes filtrationとvalue groupの関係

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