サマースクール復習(2016) その6

quadratic hamiltonianの量子化

• [CI] A Fock Sheaf For Givental Quantization
• [G] Gromov - Witten invariants and quantization of quadratic hamiltonians
• [M] Quantization of quadratic hamiltonians

Definition 4.47 ( [61]). Givental’s propagator

[M]では、

• $h_{A}(f)=\frac{1}{2}\Omega(Af,f)$の具体的な座標による表記(zの指数の符号–+,-+-,++の組み合わせで留数を展開)
• 内積に対するself-adjointを満たす式
  $S(-z)^{T}S(z)=1$
  の変形を記述する、$\sum_{k,l=0}^{\infty}W_{kl}z^{-k}w^{-l}=\frac{S(-z)^{T}S(w)-1}{z^{-1}+w^{-1}}$
  (Givental’s propagator,Givental’s R-matrix)を用いた、
  $\mathrm{S}^{-1}\cal{F}=\exp^{W(\mathbb{q},\mathbb{q})}\cal{F}([\mathrm{S}\mathbb{q}]_{+})$
  (Th1)の導出

が説明されている。
[G]では、

• 2次のHamiltonianの量子化
• Gromov-Witten invariantsのgravitational descendentsとancestorsの関係式(Th5.1)
• genus 0 descendent potentialのreconstruction(Cor5.4)

と、[M]の式の適用先の説明がされている。ただし、細かな完備化、収束などの正当化については省かれている。
これらの概念の詳細な記述、Frobenius多様体、幾何学的量子化によるreconstruction theoremの解釈は[CI]に詳しい。

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