SatoGrassmannのなかの曲線たち

http://arxiv.org/abs/alg-geom/9711022
Equations of the moduli of pointed curves in the infinite Grassmannian

主題は、
K:M∞->Gr(k((z)))
curveからSatoGrassmannianへのKrichiever mapの像を、擬微分作用素による方程式で特徴付ける、
というもの。
記述がとてもわかりやすかった。

1. formal curveのJacobian
formal curve Cに対して、Jacobianはなんだろうか？
J=lim(Cのn次対称積)
をとればよいが、
C=Spf(k[[t]])
として、
J=Spf(k{{x1,x2,...}})
となり、これは論文の記号でΓ-と同型である。

2. Abel-Jacobi map(AJ) + expの逆写像
exp:A->J
は通常ならLie環からJacobian(Lie group)への写像であるが、formal schemeとして、
逆写像を考えれば、Vは可換群のLie環なので単なるformal Affine scheme
よって
expの逆写像をAJに合成すると、
ωj=(t^j)dtたちで張られるCの1-formの積分を取ることになるから
t->(t,t^2/2,t^3/3, ....)
という写像になる。

3. expの具体的な記述
exp:A->Γ-
は
{a[i]}->exp(Σa[i]*z^(-i))
で与えられるので、
AJはa[i]=t^i/iを代入して、
t->1/(1-t/z)
という式になる。
とても簡単な式だ。

4. Poincare bundle
SatoGrassmannGr(k((z)))上にはdeterminant bundleがいる。
そのdualをΓのGr(k((z)))に対するactionで引き戻して、
Poincare bundleとしている。

5. τ関数、BA関数など
Scheme theoreticに展開されているのでわかりやすい。

RMT,CFT,SLE

2次元イジング模型をめぐっては、
RMTとCFTが自然に関係し、CFTとSLEが自然に関係する。
ではRMTとSLEはどう関係するのか？
と疑問が生じるが、
それはGibbs測度を見ることになる。

RMTからVirasoro代数の表現を構成し、
fermionとscreening operatorを定義できる。
測度に付随する直交多項式を基底としてとって、
レゾルベントとカレントを関連付けることができる。
分配関数はKP階層のτ関数の性質を持ち、
佐藤グラスマンと関係付けられる。
一方、boson-fermion対応によりカレントをbosonで表現すると、
fermionの符号の反転から分岐点での様子が得られ、超楕円曲線と関連がつく。
自由エネルギーはlargeNの場合に、摂動展開を持つ。


Ising (Conformal) Fields and Cluster Area Measures
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0812/0812.4030v1.pdf

Conformal Field Theory Techniquesin Random Matrix models
http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/9907/9907060v1.pdf

ALGEBRAIC THEORY OF THE KP EQUATIONS
http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/algebraictheo.pdf

free fermionとchiral algebraの関係については
W-SYMMETRY OF THE AD`ELIC GRASSMANNIAN
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0807/0807.4992v1.pdf

pとn

素数pについて、そのアルキメデス付値でのノルムを測る、ということはなんなのだろう？

たとえば、行列積分を考えて、n次行列での値を計算してn->∞ということを考えるとき、
p>nならば何かのコホモロジーが消える、(東屋代数がsplitするとか)
という条件(気相と液相の分離のアナロジーとしておく)がうまいこと見つけられれば、
Spec(Z)上に相転移の曲線ができて、その曲線の記述がすなわちpとpのノルムの関係、
ということになる。

ほとんどトートロジーで何も言ってはいないけど、
各素数pに対して、行列積分のようなものを構成してそれを持ち上げる、ということができないだろうか？
複素数上では、KP階層を考えるということが対応する話のように思える。


http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0812/0812.3920v1.pdf
AN INTRODUCTION TO MOTIVIC ZETA FUNCTIONS OFMOTIVES.
にmotivic zeta functionについてのサマリーが載っていた。
ここで、ゼータを環にとるように持ち上げている。

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0604/0604445v1.pdf
NONCOMMUTATIVE COUNTERPARTS OF THE SPRINGERRESOLUTION
に標数pでのD加群とcrystal basisについて説明が載っていた。

Bost-Connes

http://matrix.cmi.ua.ac.be/index.php/the-bost-connes-coset-space.html
にBost-Connesについての解りやすい説明があった。

今年の別の目標

養老孟司の「形を読む」
山梨正明の「認知文法論」
を参照して、
人間の認識の仕方、
画像の認識と言語の認識について知識を蓄える。

図と地<->2値化
カテゴリ<->クラスタリング
認知ベクトル<->?
といった対応を作ってみる。

情報幾何について局所理論を「情報幾何の方法」を読むことで学び、あわせて統計について理解を深める。
ノンパラメトリック推定について面白いことがないか探してみる。

すこしずつすこしずつ

今年の目標は、
まず
1. c=1/2で定まるフリーフェルミオン場の共形場理論の例としての理解
2. フリーフェルミオン場の2次元イジング模型の連続極限としての理解
3. 幾何学的Langlands理論の視点からフリーフェルミオン場を理解する
4. Connesの繰りこみ群に関するTannaka圏の対応を具体的にフリーフェルミオン場について実行してみる
として具体例を理解したい。

知識としては、
- 変形量子化とmotiveの対応(Connes理論とKontsevichの論文)
- 非可換幾何におけるFourie-Mukai変換(Ben-Zviのcologero系についての論文)
- Maninのcohomological field theoryとDubｒoｖinのFrobenius多様体についての説明(Mirror symmetry and Algebraic Geometry ch8.)を読む
- 可解模型の具体例をBaxterの本で知る
を蓄えたい。

知りたいことは、
- 繰りこみという理論の変形に関する対称性としてGalois群を捉える視点の妥当性
- KapranovがつとにHall代数を曲線の導来圏から作る手順を論文に書いていた。ここででてきたのがいわば上三角代数に対応するもので、Riemann-Hilbert問題と絡んでくると思われる。導来圏をふくらませてRiemann-Hibert問題を解き、Universal-envelopping代数に相当するものを作成する手順を導くこと。(ここでA-∞圏などがでてくると嬉しい)

新年初夢想

y^2=ζ(s)=Π(s-γ[k])
というリーマンζ関数に関係する無限種数の超楕円曲線を考えてみたい。
関数等式から対称性を持つ超楕円曲線だが、
対応するテータ関数もしくはペー関数はどんな形にかけるだろうか？

γ[k]のノルムで順序を入れて、種数が増えていく超楕円曲線の列を考え、曲線のモジュライにおけるおける点列とみなす。
何かいえないかなぁ？
ランダム行列と関係付けてEynard-Orantinの超楕円曲線と関連があれば面白いのに。