genus2のmoduliとschlesinger方程式

マニンのhamiltonianは、moduliが１次元で楕円曲線が１次元だった。

schlesinger方程式でgenus 2に対応する3(+3固定)点について、
とりあえず、Siegel上半平面にどう写像されるのか、というのが興味となるが、
Singular Z_N curves, Riemann-Hilbert problem and modular solutions of the Schlesinger equation
http://arxiv.org/abs/math-ph/0306050
にパラメータを少なくして3*3のmatrixを使った計算が記載されていた。

schlesinger方程式のτ関数

On solutions of the Schlesinger Equations in Terms of $\Theta$-Functions
http://arxiv.org/abs/math-ph/9810007
にschlesinger方程式のτ関数を超楕円曲線のテータ関数を使ってあらわす式が示されていた。

Deiftがrandom matrixとの関係から(τ関数はないけど)同様の式を導出していた、とも書いてあった。

Frobenius構造、Eynaud-Orintin、といったものとの関係、が明確になればいいのだけれど。

フロベニウス構造

マニンのelliptic pencilは、
射影直線上の3点を固定して1点を動かすmoduli
が楕円曲線の周期と対応付けられるところからきている。
これをn点として、確定特異点を持つ接続を考えると、
自然に等モノドロミー変形、schlesinger方程式がでてくる。

Sabbahの本では、Fourier変換で、shlesinger方程式の１次のpoleを集めて、
0,∞に特異点を持つ接続に変換し、universalなintegrable deformationと関係付けていた。
佐藤グラスマン多様体の点に対応する微分作用素に対して、Fourier変換を考える動機になるだろうか？

n点に対する有理接続から自然にフロベニウス構造が定まるが、
このフロベニウス構造に現れるcubicな構造と、
Cubics, Integrable Systems, and Calabi-Yau Threefolds
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9408004
に現れるcubic構造とはどのように関係してくるのだろうか？

また、
shlesinger方程式のτ関数は、佐藤グラスマンの言葉でのτ関数と、関係するのだろうか？
「ホロノミック量子場」では、
"ここではくわしく述べることはできないが、タウ関数は楕円関数論におけるテータ関数の類似物と考えられる。"
と記述があって、それで終わっている。
n点に対応する超楕円曲線のテータ関数、あるいはそれから作られる関数として、
記述ができるのであれば、τ関数というものが漠然と解った気になれるのだけれど、
両者の関係がわからない。

さらに、n点はもともと実構造で取っていたけれど、
フロベニウス構造からアファイン構造になっているので、
実構造にはヘッセ構造が入って、複素化がフロベニウス構造に対応する、
というようにはならないものだろうか？

周期にまつわる微分方程式

楕円曲線のpencilから微分方程式を導出している
Sixth Painlevé Equation, Universal Elliptic Curve, and Mirror of $\bold{P}^2$
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9605010
(ページの下端が切れているのが辛い)

Painlevé type equations and Hitchin systems
http://arxiv.org/abs/math-ph/9901019

Hitchin hamiltonianから周期の無限小変形を導出しているのは
Donagi-Markman cubic for Hitchin systems
http://arxiv.org/abs/math/0607060

この辺りは佐藤グラスマンでの変形の計算と対応をつけたいところ。

自由フェルミオン場

Hurwitz numbers, matrix models and enumerative geometry
http://arxiv.org/abs/0709.1458
- Eynaud-Orintinの理論の方向性を解説している

Two Dimensional Kodaira-Spencer Theory and Three Dimensional Chern-Simons Gravity
http://arxiv.org/abs/0711.1932
- Eynaud-Orintinの理論の応用

Quantum Curves and D-Modules
http://arxiv.org/abs/0810.4157
- 自由フェルミオン場についてのまとめ
頭のいい人が書くと、佐藤グラスマンやτ関数が、
直観的でわかりやすい形で説明される、
ということに感心した。

Relating Field Theories via Stochastic Quantization
http://arxiv.org/abs/0903.0732
- ランジュバン方程式とかフォッカープランク方程式とかを用いて、
確率方程式と量子場を結び付けようとしている。
SLEはでてきていないので、これとSLEとを結びつけてみるのが面白そう。

Virasoro uniformization

SLEによってどのように複素構造が変形するか、
という問題意識があるのだけれど、
まずは、複素構造の変形を一般論や超越的方法ではなく、
具体的に記述している文献を当たってみる。
Hitchin Systems at Low Genera
http://eprintweb.org/S/authors/All/ga/Gawedzki/25
Hitchinの講義録「integrable systems」には、"it seems impossible to attempt to write them down explicitly. Only geometry remains."
とあるが、genusが低い場合にはなんとかなるみたいだ。
超楕円曲線が特別に扱いやすい、ということの証左なのだろう。
仮にSLEによる曲線の変形が代数的に記述できるとしたら、
超楕円曲線もしくはconicのintersecitonとして式を表して、
その係数にパラメータが入る、という形になるのだろう。

楕円曲線の場合は、
周期のPicard-Fuchs equationがブラウン運動に応じて変化する、ということになるのだろうか？

パラメータの変形が自己同型を引き起こす場合や点の移動を引き起こす場合を考慮に入れるためには、
Virasoro uniformizationをみないといけない。
これに関しては、
Geometric Realization of the Segal--Sugawara Construction
http://arxiv.org/abs/math/0301206
をみることにする。


TQFTの観点から、WZWとCheeger-Simons を理解しようとしているのが、
Locality and Integration in Topological Field Theory
http://arxiv.org/abs/hep-th/9209048
higer categoryを持ち出して抽象化される前の具体論をまずはみてみる。
Higer class field theoryやHigher Langlandsは、higher categoryがでてくるので、
心理的に抵抗感がある。

CFTでは0次元を2次元に入れてみていた。
結び目は1次元を3次元に入れてみている。
CFTがgeometric Langlandsと関係してくるなら、
結び目はどうか？
となるが、それに関しては、
Analogies between Knots and Primes, 3-Manifolds and Number Rings
http://arxiv.org/abs/0904.3399
にまとめがあった。

仮に、
Kontsevichの結び目不変量あるいはファインマン積分のグラフ展開、
と数論的な情報のグラフ展開、が結びつくとすれば、
Harer-Zagierのmoduli orbifoldのオイラー数の公式も、conceptualに理解できるはずで、
数論的にファインマンダイアグラムが定義できる状況、というものがほしくなる。

epsilon factor

p-adic Lie groupGを与えたときに対応するp-adic L-functionは
Algebraic $p$-Adic $L$-Functions in Non-Commutative Iwasawa Theory
http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.prims/1234361155
で定義されている。
このp-adic L-functionはGがrank oneのときcanonicalにEuler characteristic classとなる。
(Th4.1)

一方、
Sheaves with connection on abelian varieties
http://arxiv.org/abs/alg-geom/9602023
でKrichiever mapをFourier-Mukai変換と解釈して、D-moduleのsettingで解釈しようという試みがある。
$\epsilon$-factors for Gauss-Manin determinants
http://arxiv.org/abs/math/0111277
でepsilon-factorをdeRham settingで定義し、
Topological $\epsilon$-factors
http://arxiv.org/abs/math/0610055
でbetti settingで定義し、
Riemann面の場合の説明が
http://www.math.uchicago.edu/~mitya/langlands/dt.pdf
で与えられている。
deRhamとbettiの場合の関係(period)は
$\epsilon$-Factors for the Period Determinants of Curves
http://arxiv.org/abs/0903.2674
で与えられている。

epsilon factorはramifiedなlocal systemもしくはirregular singurarityをもつD-module
を測っていて、Tate's thesisではアデール群上の積分としてdualityを記述して自然に定義された。
LaumonはFourier変換をsheafの上で定義することによりgeometricな定義を与えた。
p-adic L-functionはもともとはGalois群のone parameter群に対応するEuler類として解釈されたのだけれど、
epsilon factorと上記のp-adic L-functionとが、
何らかの形で結びついてくれれば、面白い。


deRham settingの理解のために以下を読むつもり。
Local Fourier transforms and rigidity for D-modules
http://arxiv.org/abs/math/0312343