* p-divisible group
- p-divisible groupの定義
- 完全体上での性質
- p:locally nilpotentの底空間上のp-divisible groupの変形と持ち上げ
- 一般の底空間上のp-divisible groupの分類のための、display, window, frame,
- Grothendieck-Messing crystal
- universal vector space
- Dieudonne加群、Crystalとの対応
* p-divisible groupの一つの定義
p-divisible groupの一つの定義
- formal group Gが次の3つの条件をみたすこと
a)p倍写像が全射(p-divisible)
b)p倍写像の核が有限群スキーム
c)p-torsion
* formal groupに対する操作
- nilpotent algebra上の関手としての表現
formal schemeとしての表現
- 原点におけるcompletion
nilpotent idealで割った値がzero-sectionになるような表現関手として定義される。
原点におけるcompletionは常にformal Lie groupになる。
- hyper algebra
R上のp-divisible group G=Spf(C)に対して、
hyper algebraを H_{G}=Hom(C, R)と定義すると、これはaugmented algebraの構造が入る。
N->(GmH_{G})^(N)という関手が定まり、formal groupになる。
- hyper algebraのGroup-like elementからのGの値点の復元
G=Spf(C)として、
G(N)=Hom_{continuous algebra)(Cのaugmented ideal, N)
により、
G(N)->(GmH_{G})^
という単射が定まる。
この中でgroup-like elementsがGの値点になる。
- Lie代数
nilpotent algebra Nに対して、N^{2}=0をいれたalgebra上の値を対応させる関手として、
Lie代数が定義される。
- exponential map
Q上の代数に対しては、形式的にexponential mapが定義でき、nilpotent algebra上では有限和となる。
G(N)->(GmH_{G})^という埋め込みにより、写像の定義はGmH_{G}上で定めれば良い。
- divided power
pが可逆でないような代数に対しては、
nilpotent divided power付きのnilpotent algebra上でexponential mapを定義することができる。
- Grothendieck-Messing exponential
G:strictly pro-representableなformal groupに対しては、
LieG(N)とG(N)はexponential mapを通してisomorphism。
* p-divisible formal groupとconnected p-divislble group
- これは同値
- p-divisible groupに対して、原点でのformal completionによりconnected partを取り出せる
- connected p-divisible groupにはLie groupの構造が入る
formally smooth
* p-divisible groupに対する操作
- 順像(?)
f:S->R, 環準同型によって、
S上のp-divisible groupをR上のp-divisible groupに制限することができる。
- 持ち上げ
R上のp-divisible groupをS上に持ち上げることができるか?
持ち上げ方にどの程度の任意性があるか?
という点が問題になる。
そのため、
Step1. 完全体上でp-divisible groupを線形的なデータで記述できることを見る
Step2. universal vector extensionを構成する
Step3. (Dieudonne) Crystalを構成する
Step4. nilpotent crystalline site上からcrystalline site上にcrystalが拡張できることを見る
(Step5. Frobenius射が全射となっている環上でA_{cris}を構成し、その上でcrystalからDiuedonne加群を構成する)
という手順がとられる。
* 完全体k上のp-divisible group
- W(k):kのWitt環に対して、F,Vの作用が入ったDieudonne加群が定義される
- G->M(G): Dieudonne加群の対応はp-divisible groupと有限自由Dieudonne加群との(反)同値
- 高さhのp-divisible groupはrank hのDieudonne加群に対応する
- Gの余接空間はM(G)/FM(G)とk-vector spaceとして同型
(smoothな場合は)Gの次元は、length(M/FM)と同じ。
- G:connectedとFがtopologically nilpotentであることは同値
- G:etaleとF:bijectiveは同値
- Mはkのbase changeと可換
* Witt covector
0->Z_{p}->Q_{p}->Q_{p}/Z_{p}->0
という完全系列は、
Z/p^{n}Zの逆極限と順極限それぞれを取ってのextention。
その拡張として、finite Witt group schemeの逆極限、順極限を取ってのextensionとして、
Witt vectors, Witt bivectors, Witt covectorsのなす、
0->W(A)->BW(A)->CW(A)->0
という完全系列がある。
- M(G):=Hom(G,CW)
として、完全体上のDiuedonne加群の拡張が得られる。
* display
- display
完全体上のMに対して、pM⊂FM⊂M、VMに対応する性質を抜き出して、
(P,Q,F,F1)という4つ組として、displayが定義される。
displayに対して、height, dimension, Lie代数が定義される。
- nilpotent displayという概念が定義される
p:nilpotentを満たす環の上でnilpotent displayからformal p-divisible groupへの関手が定義され、同値。
LECTURES ON p-DIVISIBLE GROUP
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