pとn

素数pについて、そのアルキメデス付値でのノルムを測る、ということはなんなのだろう？

たとえば、行列積分を考えて、n次行列での値を計算してn->∞ということを考えるとき、
p>nならば何かのコホモロジーが消える、(東屋代数がsplitするとか)
という条件(気相と液相の分離のアナロジーとしておく)がうまいこと見つけられれば、
Spec(Z)上に相転移の曲線ができて、その曲線の記述がすなわちpとpのノルムの関係、
ということになる。

ほとんどトートロジーで何も言ってはいないけど、
各素数pに対して、行列積分のようなものを構成してそれを持ち上げる、ということができないだろうか？
複素数上では、KP階層を考えるということが対応する話のように思える。


http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0812/0812.3920v1.pdf
AN INTRODUCTION TO MOTIVIC ZETA FUNCTIONS OFMOTIVES.
にmotivic zeta functionについてのサマリーが載っていた。
ここで、ゼータを環にとるように持ち上げている。

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0604/0604445v1.pdf
NONCOMMUTATIVE COUNTERPARTS OF THE SPRINGERRESOLUTION
に標数pでのD加群とcrystal basisについて説明が載っていた。

Bost-Connes

http://matrix.cmi.ua.ac.be/index.php/the-bost-connes-coset-space.html
にBost-Connesについての解りやすい説明があった。

今年の別の目標

養老孟司の「形を読む」
山梨正明の「認知文法論」
を参照して、
人間の認識の仕方、
画像の認識と言語の認識について知識を蓄える。

図と地<->2値化
カテゴリ<->クラスタリング
認知ベクトル<->?
といった対応を作ってみる。

情報幾何について局所理論を「情報幾何の方法」を読むことで学び、あわせて統計について理解を深める。
ノンパラメトリック推定について面白いことがないか探してみる。

すこしずつすこしずつ

今年の目標は、
まず
1. c=1/2で定まるフリーフェルミオン場の共形場理論の例としての理解
2. フリーフェルミオン場の2次元イジング模型の連続極限としての理解
3. 幾何学的Langlands理論の視点からフリーフェルミオン場を理解する
4. Connesの繰りこみ群に関するTannaka圏の対応を具体的にフリーフェルミオン場について実行してみる
として具体例を理解したい。

知識としては、
- 変形量子化とmotiveの対応(Connes理論とKontsevichの論文)
- 非可換幾何におけるFourie-Mukai変換(Ben-Zviのcologero系についての論文)
- Maninのcohomological field theoryとDubｒoｖinのFrobenius多様体についての説明(Mirror symmetry and Algebraic Geometry ch8.)を読む
- 可解模型の具体例をBaxterの本で知る
を蓄えたい。

知りたいことは、
- 繰りこみという理論の変形に関する対称性としてGalois群を捉える視点の妥当性
- KapranovがつとにHall代数を曲線の導来圏から作る手順を論文に書いていた。ここででてきたのがいわば上三角代数に対応するもので、Riemann-Hilbert問題と絡んでくると思われる。導来圏をふくらませてRiemann-Hibert問題を解き、Universal-envelopping代数に相当するものを作成する手順を導くこと。(ここでA-∞圏などがでてくると嬉しい)

新年初夢想

y^2=ζ(s)=Π(s-γ[k])
というリーマンζ関数に関係する無限種数の超楕円曲線を考えてみたい。
関数等式から対称性を持つ超楕円曲線だが、
対応するテータ関数もしくはペー関数はどんな形にかけるだろうか？

γ[k]のノルムで順序を入れて、種数が増えていく超楕円曲線の列を考え、曲線のモジュライにおけるおける点列とみなす。
何かいえないかなぁ？
ランダム行列と関係付けてEynard-Orantinの超楕円曲線と関連があれば面白いのに。

CFTの変形とSLE

CFTは共形不変な場であって、場の理論としての変形は、共形不変からのずれを意味する。
共形不変な場における局所演算子は、変形された場における離散的な空間上の変数が繰り込まれたもの、ということになる。

An Introduction to the Stochastic Loewner Evolution
http://www.math.duke.edu/~jose/esi.pdf
に、共形不変性について、別の立場から見た解説があった。
ではSLEとCFTとの関係はどうなの？
という素朴な問いかけには、
On Malliavin measures, SLE and CFT
http://arxiv.org/abs/math-ph/0609056
があった。
また、
On Connections of Conformal Field Theory andStochastic Loewner Evolution
http://arxiv.org/PS_cache/math-ph/pdf/0410/0410029v1.pdf
で、背景知識も含めて説明されている。

では、佐藤グラスマン多様体の中でこれらの変形を記述できるだろうか？
この話の有限体上の類似物はあるだろうか？
という疑問が当然わいてくる。

フーリエ変換、戸田模型、幾何学的ラングランズ対応

Griffithsによるlinealization flowsの論文は手に入らないので、
http://www.dima.unige.it/~bartocci/gfabstracts/ge-int.pdf
を参照することにする。
Lax方程式と固有ベクトル写像の関係、さらにJacobian多様体における積分曲線について、
戸田模型を参考にして理解することにする。

http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0111/0111260v1.pdf
にGiventalの量子コホモロジーのなかで現れたflag varietyと戸田模型の関係が、
affineの場合に説明されている。
これは、幾何学的ラングランズ対応の際に現れたD-module(Hitchinハミルトニアンの量子化として定義される)と量子コホモロジーから定義される量子D-Moduleの対応をmiura対応によって説明している。Guest-Otofujiの方法とあわせて調べてみる必要がある。

さらに、flag varietyについては、Laumonによるコンパクト化がある。これは、幾何学的Eisenstein層のために使用されていたmoduliで、それを
http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0811/0811.4454v1.pdf
でcologero系と関連付けている。
量子コホモロジー環におけるJ-関数の位置づけを理解する必要がある。

http://arxiv.org/abs/0809.0180
(Local Fourier transform and epsilon factors)
で、Laumonのフーリエ変換を用いてＬ関数のε因子の計算をしている。
元になるstatinary phaseについての考え方やフーリエ変換の定義に関する論文は、
http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1987-1988__30__105_0
からたどれる、
Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionelles et conjecture de Weil。
Sabbahの本にD-Moduleの場合のlocal-Fourier変換がでていたので、
l-adic層とD-moduleと双方を理解する必要がある。

というのも、localに考えると、Fourie変換はWely-algebraの座標と微分を交換する変換だが、
http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/spectral2008.pdf
HITCHIN INTEGRABLE SYSTEMS, DEFORMATIONS OFSPECTRAL CURVES, AND KP-TYPE EQUATIONS
のなかで、
"Note that Sato Grassmannians are constructed from pseudo-differential operators. We will show, using Abel's theorem, that the Serre duality is simply the formal adjoint operation on the pseudo-differential operators."
と書かれていたが、擬微分作用素のadjointがSerre dualityなら、フーリエ変換はなんだろう？
と疑問がでるから。
幾何学的ラングランズ対応の枠組みでは、GL(1)の場合にヘッケ固有層を作成するのにFourier-Mukai変換を縦横に使いまくっているようだし、分岐が絡む場合に理解しておく必要があるだろう(E.Frenkelの概説参照)

とくに、これをもとにして、Hitchin hamiltonianで分岐の場合を理解したい。

また、
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0602/0602032v2.pdf
(A FUNCTORIAL CONSTRUCTION OFMODULI OF SHEAVES)
には、moduli spaceの埋め込み(theta関数!)をquiverの言葉で実行している。
これとcurveの場合のHiggs場の埋め込みとどう関連するかも面白そうなところ。

Ringel-Hall代数は、三角行列を生成するので、比喩的には、abel圏のRiemann-Hilbert問題をとく1st stepとみなせる。
Segal-Wilsonのグラスマン多様体では、S1上の関数で円盤内で正則、または無限円で正則という形で三角分解しているが、大きな枠組みでアーベル圏のグラスマン多様体をRingel-Hall代数で書き表せるだろうか？
この場合にはYoungタブローはもっと複雑なmoduliのcell decompositionの言葉で記述されることになるだろう。
上記論文はそんな形で理解できないだろうか？