* Szegö via Jacobi
(http://arxiv.org/abs/math/0604009)
に、Szegoのstrong limit theorem(http://en.wikipedia.org/wiki/Fredholm_determinant)
の証明があった。
* 有限体上の超楕円曲線のFrobenius写像の固有値の分布で、genusに関する極限を取る話
Traces of high powers of the Frobenius class in the hyperelliptic ensemble
(http://arxiv.org/abs/0811.3649)
有限体の位数ではなく、曲線の種数で極限を取る、
という点で、面白い。
これを、数体(標数を固定して局所体で考えれば十分)上のモデルからreductionによって得られるものとしたとき、
dessin d'enfantの系列はどうなるだろうか？
* 代数曲線と非可換代数
Calogero-Moser Spaces over Algebraic Curves
(http://arxiv.org/abs/0809.4521)
射影直線の導来圏はKronecker代数の導来圏と同型だが、
これを逆にみて、代数曲線上の微分作用素のなす代数を
非可換代数上の加群の言葉で書こうという話。
2011年3月8日火曜日
Ribbon graphとRiemann面
* Ribbon Graphとリーマン面の対応
RIBBON GRAPHS, QUADRATIC DIFFERENTIALS ON RIEMANN SURFACES, AND ALGEBRAIC CURVES DEFINED
OVER Q-bar
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/ribbon.pdf)
に、Ribbon graphとRiemann面の対応が紹介されている。
そのもとで、
LECTURES ON THE ASYMPTOTIC EXPANSION OF A HERMITIAN MATRIX INTEGRAL
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/lectures.pdf)
において、行列積分、すなわち、Hermitian matrixのもとでの、
log(E(exp(?)))
の形の式と、Riemann面のモジュライが結びつく。
ここで、E()は上の文脈ではA()と漸近展開の意味であるが、
これを何らかの意味での期待値と見なしたい。
* ラプラス変換とPoincare多項式
TOPOLOGICAL RECURSION FOR THE POINCARE ́ POLYNOMIAL OF THE COMBINATORIAL MODULI SPACE OF CURVES
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/mppoincare2.pdf)
では、上記の行列積分の漸近展開式の各(g,n)に対応する部分について、
Eynard-Orantinの組み合わせ漸化式から漸化式を導出している。
ここで気になってくるのは、
Riemann面をfixしてN点をとったときの、LDPはグリーン関数に基づいた
Rate関数が出てくるが、
複素構造を決めずに、
N点を取ってから、たとえばVoronoi図をとって領域を分割し、
そこからRibbon graphを作って、対応するRiemann面を取る、
という手順にすると、(g,n)をfixしたモジュライの上に確率測度が導出され、
その測度の元でのLDPのRate関数として、上記の行列積分の破片がでてくる、
というようにはならないだろうか？
ということ。
無論、N点をとってRibbon graphの上に長さを定義できるためには、
最初にユークリッド構造を入れておく必要がある。
つまり、universal curve上にGauss-Manin connectionが入って、
connectionと両立する移動のみでモジュライ空間の上をふらつくような、
点過程、
というものが素朴な抽像になる。
Zelditchの論文では、Gaussian random polynomialsを考えていたが、
そこに複素構造の変形までrandomにすることを含めるには、
どのようにすればよいだろうか？
RIBBON GRAPHS, QUADRATIC DIFFERENTIALS ON RIEMANN SURFACES, AND ALGEBRAIC CURVES DEFINED
OVER Q-bar
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/ribbon.pdf)
に、Ribbon graphとRiemann面の対応が紹介されている。
そのもとで、
LECTURES ON THE ASYMPTOTIC EXPANSION OF A HERMITIAN MATRIX INTEGRAL
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/lectures.pdf)
において、行列積分、すなわち、Hermitian matrixのもとでの、
log(E(exp(?)))
の形の式と、Riemann面のモジュライが結びつく。
ここで、E()は上の文脈ではA()と漸近展開の意味であるが、
これを何らかの意味での期待値と見なしたい。
* ラプラス変換とPoincare多項式
TOPOLOGICAL RECURSION FOR THE POINCARE ́ POLYNOMIAL OF THE COMBINATORIAL MODULI SPACE OF CURVES
(http://www.math.ucdavis.edu/~mulase/texfiles/mppoincare2.pdf)
では、上記の行列積分の漸近展開式の各(g,n)に対応する部分について、
Eynard-Orantinの組み合わせ漸化式から漸化式を導出している。
ここで気になってくるのは、
Riemann面をfixしてN点をとったときの、LDPはグリーン関数に基づいた
Rate関数が出てくるが、
複素構造を決めずに、
N点を取ってから、たとえばVoronoi図をとって領域を分割し、
そこからRibbon graphを作って、対応するRiemann面を取る、
という手順にすると、(g,n)をfixしたモジュライの上に確率測度が導出され、
その測度の元でのLDPのRate関数として、上記の行列積分の破片がでてくる、
というようにはならないだろうか？
ということ。
無論、N点をとってRibbon graphの上に長さを定義できるためには、
最初にユークリッド構造を入れておく必要がある。
つまり、universal curve上にGauss-Manin connectionが入って、
connectionと両立する移動のみでモジュライ空間の上をふらつくような、
点過程、
というものが素朴な抽像になる。
Zelditchの論文では、Gaussian random polynomialsを考えていたが、
そこに複素構造の変形までrandomにすることを含めるには、
どのようにすればよいだろうか？
2011年2月28日月曜日
累積分布の逆関数
一様分布の乱数から、確率測度のシミュレーションを行うときに、
自然と累積分布関数の逆関数、という話が出てくる。
ここで、逆関数をみる、ということは、
楕円積分などのアーベル微分と絡んでもよいと思うのだが、
分布関数が種数1以上の代数曲線の周期と結びついた確率測度、
という話をみたことがないので、
面白い分布関数がないものか？
と気になる。
* 代数曲線の種数増大列
Katz-Sarnakのランダム行列の議論では、
有限体上の代数曲線の列で、種数->無限大
となるものを考えて、
そのフロベニウス作用素の1次コホモロジーの固有値
から作られる確率測度のGUEへの収束をみていた。
* ベータ分布
上記の代数曲線の列として、
GUEに収束しないものの例として、
Fermat曲線があげられている。(ただし、次数と標数に制限がつく。)
Fermat曲線は、
射影直線の{0,1,無限大}における分岐
によって得られ、
式の形からも、標数0に持ち上げられ、
整数環上定義されるものである。
複素数体上で、
Fermat曲線のアーベル微分をみると、
その周期は、ベータ関数で表される。
ベータ分布でパラメータが特殊な有理数となっているものの列
が、標数pへのreductionでGUEに収束しない列を与えている。
ベータ分布は、事前分布も事後分布もベータ分布となるような、
尤度関数を持っている。
* そこで、次の疑問がわく。
射影直線の{0,1,無限大}における分岐、
すなわち、dessin d'enfantを考えて、
適当な被覆列をとる。
1. その[0,1]におけるアーベル微分の周期をとって、確率測度とする。
被覆列についてみると、確率測度の列ができるが、
この列を事前分布、事後分布として解釈できるような尤度関数は存在するか？
2. 確率測度の列について、各尤度関数は、その代数曲線のempirical measureのレート関数と、なにか関係がつくか？
3. 適当なパラメータの特殊化を行って、有限標数にreductionを行うと、代数曲線列は、固有値測度がGUEに収束しない列となりうるか？
自然と累積分布関数の逆関数、という話が出てくる。
ここで、逆関数をみる、ということは、
楕円積分などのアーベル微分と絡んでもよいと思うのだが、
分布関数が種数1以上の代数曲線の周期と結びついた確率測度、
という話をみたことがないので、
面白い分布関数がないものか？
と気になる。
* 代数曲線の種数増大列
Katz-Sarnakのランダム行列の議論では、
有限体上の代数曲線の列で、種数->無限大
となるものを考えて、
そのフロベニウス作用素の1次コホモロジーの固有値
から作られる確率測度のGUEへの収束をみていた。
* ベータ分布
上記の代数曲線の列として、
GUEに収束しないものの例として、
Fermat曲線があげられている。(ただし、次数と標数に制限がつく。)
Fermat曲線は、
射影直線の{0,1,無限大}における分岐
によって得られ、
式の形からも、標数0に持ち上げられ、
整数環上定義されるものである。
複素数体上で、
Fermat曲線のアーベル微分をみると、
その周期は、ベータ関数で表される。
ベータ分布でパラメータが特殊な有理数となっているものの列
が、標数pへのreductionでGUEに収束しない列を与えている。
ベータ分布は、事前分布も事後分布もベータ分布となるような、
尤度関数を持っている。
* そこで、次の疑問がわく。
射影直線の{0,1,無限大}における分岐、
すなわち、dessin d'enfantを考えて、
適当な被覆列をとる。
1. その[0,1]におけるアーベル微分の周期をとって、確率測度とする。
被覆列についてみると、確率測度の列ができるが、
この列を事前分布、事後分布として解釈できるような尤度関数は存在するか？
2. 確率測度の列について、各尤度関数は、その代数曲線のempirical measureのレート関数と、なにか関係がつくか？
3. 適当なパラメータの特殊化を行って、有限標数にreductionを行うと、代数曲線列は、固有値測度がGUEに収束しない列となりうるか？
2011年2月10日木曜日
タウ関数についての妄想
p-adic periods and the derived de Rham cohomology
(http://arxiv.org/abs/1102.1294)
では、
derived algebraic geometryの言葉を用いて、
B^{+}_{dR}をA_{dR}:derived de Rham algebra
のderived p-adic completionとして同一視している。
h-topologyやcotangent complexの枠組みを理解していないので、
詳細はよくわからない。
一方、
$\epsilon$-factors for Gauss-Manin determinants
(http://arxiv.org/abs/math/0111277)
では、
residueによるdualityを利用して、
クリフォード群とハイゼンベルグ群を整理し、
射影加群とdeterminant line bundleの言葉で、
タウ関数のフェルミオン的な立場を代数的に記述している。
上記のp進的な話が、p-adic differential equationあるいは、
ガロア表現を通じて、タウ関数と結びつき、
さらに、
derived algebraic geometryの言葉を通して、
free loop algebraひいては何らかの意味でのWiener空間と自然に結びついてくれるとうれしい。
(http://arxiv.org/abs/1102.1294)
では、
derived algebraic geometryの言葉を用いて、
B^{+}_{dR}をA_{dR}:derived de Rham algebra
のderived p-adic completionとして同一視している。
h-topologyやcotangent complexの枠組みを理解していないので、
詳細はよくわからない。
一方、
$\epsilon$-factors for Gauss-Manin determinants
(http://arxiv.org/abs/math/0111277)
では、
residueによるdualityを利用して、
クリフォード群とハイゼンベルグ群を整理し、
射影加群とdeterminant line bundleの言葉で、
タウ関数のフェルミオン的な立場を代数的に記述している。
上記のp進的な話が、p-adic differential equationあるいは、
ガロア表現を通じて、タウ関数と結びつき、
さらに、
derived algebraic geometryの言葉を通して、
free loop algebraひいては何らかの意味でのWiener空間と自然に結びついてくれるとうれしい。
2011年1月16日日曜日
直線束の大域切断から得られる確率変数の大偏差原理
LARGE DEVIATIONS OF EMPIRICAL ZERO POINT MEASURES ON RIEMANN SURFACES, I: g = 0
(http://arxiv.org/abs/0904.4271)
Large deviations of empirical measures of zeros on Riemann surfaces
(http://arxiv.org/abs/1101.0417)
に、リーマン面上の直線束をとり、その大域切断から得られる
RandomPolynomial
について、零点の位置からなる測度についての大偏差原理
が示されていた。
種数0の場合は、多項式空間にガウス分布からなる基底を入れて話をすることで、
ほとんどユニタリー群に対するランダム行列の場合の、
n-Fekete setのcounting measureが平衡測度に収束する場合の議論
(ex. Orthogonal Polynomials and Random Matrices(Deift)の6章の議論)
と同様の話を行える。
種数一般の場合は、零点をdiviserに置き換えて、Abel-Jacobiの定理によりリーマン面の対称積上に引き戻した上で、
種数０の場合に座標を用いて書かれていた箇所をPrime formsで書き直すことにより、
大偏差原理のレート関数を書き表すことができる。
Heights and measures on analytic spaces. A survey of recent results, and some remarks
(http://arxiv.org/abs/1001.2517)
では、計量付き直線束の議論をp進体上でも行っているので、
ガウス分布に対応するものが何か？
といった話を考えるのも興味深い。
(http://arxiv.org/abs/0904.4271)
Large deviations of empirical measures of zeros on Riemann surfaces
(http://arxiv.org/abs/1101.0417)
に、リーマン面上の直線束をとり、その大域切断から得られる
RandomPolynomial
について、零点の位置からなる測度についての大偏差原理
が示されていた。
種数0の場合は、多項式空間にガウス分布からなる基底を入れて話をすることで、
ほとんどユニタリー群に対するランダム行列の場合の、
n-Fekete setのcounting measureが平衡測度に収束する場合の議論
(ex. Orthogonal Polynomials and Random Matrices(Deift)の6章の議論)
と同様の話を行える。
種数一般の場合は、零点をdiviserに置き換えて、Abel-Jacobiの定理によりリーマン面の対称積上に引き戻した上で、
種数０の場合に座標を用いて書かれていた箇所をPrime formsで書き直すことにより、
大偏差原理のレート関数を書き表すことができる。
Heights and measures on analytic spaces. A survey of recent results, and some remarks
(http://arxiv.org/abs/1001.2517)
では、計量付き直線束の議論をp進体上でも行っているので、
ガウス分布に対応するものが何か？
といった話を考えるのも興味深い。
2011年1月11日火曜日
p進体上の周期と積分
* アーベル多様体上の周期
- PÉRIODES ET REPRÉSENTATIONS GALOISIENNES, NOTES DU COURS DE M2
(http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Orsay.pdf)
楕円曲線に限定して、周期の計算を行っている。
とくに、Complex Multiplicationを持つ場合は、
Chowla-Selbergの公式が成り立つ
- Périodes p-adiques des variétés abéliennes , Math. Annalen 292 (1992), 629--644
* Coleman積分
Heidelberg lectures on Coleman integration
(http://www.math.bgu.ac.il/~bessera/Heidelberg-lecture.pdf)
* Coleman積分の超楕円曲線の場合の計算
Explicit Coleman integration for hyperelliptic curves
(http://arxiv.org/abs/1004.4936)
- PÉRIODES ET REPRÉSENTATIONS GALOISIENNES, NOTES DU COURS DE M2
(http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Orsay.pdf)
楕円曲線に限定して、周期の計算を行っている。
とくに、Complex Multiplicationを持つ場合は、
Chowla-Selbergの公式が成り立つ
- Périodes p-adiques des variétés abéliennes , Math. Annalen 292 (1992), 629--644
* Coleman積分
Heidelberg lectures on Coleman integration
(http://www.math.bgu.ac.il/~bessera/Heidelberg-lecture.pdf)
* Coleman積分の超楕円曲線の場合の計算
Explicit Coleman integration for hyperelliptic curves
(http://arxiv.org/abs/1004.4936)
p進体上のp進体値関数
Colmezのページに基本的なことのまとめがおいてあった。
* Fontaineの周期環
INTRODUCTION AUX ANNEAUX DE FONTAINE, NOTES DU COURS DE M2
(http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Fontaine.pdf)
複素数体上では、複素平面の極座標分解ができて、
オイラーの公式が、極方向の、一意化座標と割った座標の同一視の仕方を与えている。
Berkovich空間として、p進射影平面をみると、これは木構造の完備化で、実1次元であるから、
オイラーの公式的なものを作ろうとすると、
極方向に次元を増やす必要がある。
空間の次元を増やすことはできないので、
分岐拡大の方向に自由度を増やして、それを完備化することにより、擬似的に次元を増やす、
という方針をとることになる。
そのために、
標数pの世界と標数0の世界をつなぐ道具立て、
- p乗で結ばれる数列
- Witt環
を用意する。
ガロア群の作用が連続になる(p進,付値)の2次元的な位相環が定義され、
これを動径方向、すなわちp進方向に局所化して、極座標方向、すなわち付値方向に完備化することで、Fontaineの周期環が定義される。
* p進体値関数
FONCTIONS D’UNE VARIABLE p-ADIQUE, NOTES DU COURS DE M2
(http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Espaces-fonctionnels.pdf)
複素数値関数としてのp進局所体上の連続関数は、局所定数だった。
では、
p進体値関数の場合はどうか、というと、これも、局所体の完全不連結性に起因して、
連続関数のなかで、局所定数関数が密になる。
とくに、連続関数のなす空間のorthonormal basesとして、
２項係数からなる多項式群をとることができる。
ここで、orthonormal basesは、ヒルベルト空間が定義されている訳ではないので、
p進Banach空間を定義して、その中で、基底と、項が無限遠で0になるような数列の空間を用いて、定義される。
次に、局所解析的関数を定義して、そのorthonormal basesが２項係数に収束条件のための定数をつけた形で決定できる。
r級の関数の定義がなされるが、r階微分可能性にさらに、テイラー展開の誤差項の一様連続性を条件に加えている。
これは、Exercice10にあるような例があるため。
局所解析的ならば任意のrでr級になる。
各r級の空間でbasesは、やはり、２項係数に収束条件のための係数がついたものになる。
* 分布、測度
DISTRIBUTIONS ET FONCTIONS ANALYTIQUES, NOTES DU COURS DE M2
(http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Distributions.pdf)
関数に加えて、分布、測度が定義される。
Amice変換として、２項係数関数による母関数が定義され、
分布に対して、ベキ級数が対応する。
分布への操作と、Amice変換によるべき級数の対応がリスト化される。
* Fontaineの周期環
INTRODUCTION AUX ANNEAUX DE FONTAINE, NOTES DU COURS DE M2
(http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Fontaine.pdf)
複素数体上では、複素平面の極座標分解ができて、
オイラーの公式が、極方向の、一意化座標と割った座標の同一視の仕方を与えている。
Berkovich空間として、p進射影平面をみると、これは木構造の完備化で、実1次元であるから、
オイラーの公式的なものを作ろうとすると、
極方向に次元を増やす必要がある。
空間の次元を増やすことはできないので、
分岐拡大の方向に自由度を増やして、それを完備化することにより、擬似的に次元を増やす、
という方針をとることになる。
そのために、
標数pの世界と標数0の世界をつなぐ道具立て、
- p乗で結ばれる数列
- Witt環
を用意する。
ガロア群の作用が連続になる(p進,付値)の2次元的な位相環が定義され、
これを動径方向、すなわちp進方向に局所化して、極座標方向、すなわち付値方向に完備化することで、Fontaineの周期環が定義される。
* p進体値関数
FONCTIONS D’UNE VARIABLE p-ADIQUE, NOTES DU COURS DE M2
(http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Espaces-fonctionnels.pdf)
複素数値関数としてのp進局所体上の連続関数は、局所定数だった。
では、
p進体値関数の場合はどうか、というと、これも、局所体の完全不連結性に起因して、
連続関数のなかで、局所定数関数が密になる。
とくに、連続関数のなす空間のorthonormal basesとして、
２項係数からなる多項式群をとることができる。
ここで、orthonormal basesは、ヒルベルト空間が定義されている訳ではないので、
p進Banach空間を定義して、その中で、基底と、項が無限遠で0になるような数列の空間を用いて、定義される。
次に、局所解析的関数を定義して、そのorthonormal basesが２項係数に収束条件のための定数をつけた形で決定できる。
r級の関数の定義がなされるが、r階微分可能性にさらに、テイラー展開の誤差項の一様連続性を条件に加えている。
これは、Exercice10にあるような例があるため。
局所解析的ならば任意のrでr級になる。
各r級の空間でbasesは、やはり、２項係数に収束条件のための係数がついたものになる。
* 分布、測度
DISTRIBUTIONS ET FONCTIONS ANALYTIQUES, NOTES DU COURS DE M2
(http://www.math.jussieu.fr/~colmez/Distributions.pdf)
関数に加えて、分布、測度が定義される。
Amice変換として、２項係数関数による母関数が定義され、
分布に対して、ベキ級数が対応する。
分布への操作と、Amice変換によるべき級数の対応がリスト化される。
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