Perfectoid

Mirror symmetry for elliptic curves
http://zippy.ph.utexas.edu/~msihl/pubs/termpaperM390C.pdf
Categorical Mirror Symmetry: The Elliptic Curve
http://arxiv.org/abs/math/9801119v3

1次元円周M=S^{1}を実解析的多様体とみなして、
X=T^{*}Mとすると、
XはS^{2}-S^{0}=C^{*}と同型になる。
ここで、q=exp(2*¥pi*i*¥tau)というパラメータをいれてE=X/q^{Z}とTate-楕円曲線を構成することができる。

E上の連接層の構造は、Fourier-Mukai変換により1点にsupportを持つskyscraper層に帰着する。
さらに、1点上にsupportを持つ層はExtの計算により、lengthを与えるとuniqueに定まる。
E上のベクトル束の構造を記述するには、X上に引き戻して、
具体的に関数とベクトル空間及びそこに作用するnilpotent作用素を用いて
表すことができる。
具体的には、E上のdegree1の直線束Lおよびその大域切断φ0(すなわちテータ関数)を固定し、
degree:n, rank:rのベクトル束として、
φ=(φ0の平行移動)*φ0^{n-1}
V:次元rのベクトル空間
N:Vに作用するindecomposable nilpotent matrix
として、
L(φ)とF(V,exp(N))の直積の形で表わされるものから、isogenyと直和によって構成することができる。(上記Prop1)
特にN=0がstableに対応する。

一方で、楕円曲線E'内のLagrangianの集合として、
直線からなるものを取ることができ、
楕円曲線E'上の深谷圏を構成することができる。

E上のベクトル束に対して、E'上の深谷圏の対象を上記5.1のΦによって対応づけることができる。
- degree:dの直線束に対してslope:dの直線
という対応により、テータ関数の加法公式の直感的な解釈が与えられる。

The Local Langlands Correspondence for GL(n) over p-adic Fields
http://arxiv.org/abs/math/0011210v2

さて、
楕円曲線の場合は、skyscraper層の構造に帰着して対応を見ることができた。
一方で、局所Langlands対応で問題になるのは、
k:標数pの有限体、F=k((t))
として、
F上のGalois表現と保型表現の対応であるが、
Fの(Frobenius semisimple)Weil-Deligne表現でindecomposableなものは、
Weil群の既約表現とSp(m)の直積の形で記述される。(3.2.4)
特にirreducible表現はWeil表現としてirredusibleでかつN=0の場合となり、
保型表現側ではsupercuspical表現が対応する。(4.3.2)

対応の構成には、
p-divisible group+level structureの普遍変形空間のtowerが用いられる。
W(k)上定義されたrigid analytic spaceのvanising cyclesに対応する表現が実現される。(5.5.3)

Perfectoid spaces
http://arxiv.org/abs/1111.4914v1
Moduli of p-divisible groups
http://arxiv.org/abs/1211.6357v1
p-divisible groupのmoduliはperfectoid spaceになる。
すなわち、標数pの世界と標数0の世界を行き来できる。