サマースクール復習 その5

p進局所体の絶対Galois群に関する誇大妄想

• A Version of the Grothendieck Conjecture for p-adic Local Fields

p進局所体の絶対Galois群は、ある意味で”実解析的”な対象で、 
絶対遠アーベル幾何は、 
その上の双曲的代数曲線によりrigidifyされた”複素構造” 
の抽出を行うものだった。

一方で、

• Gal(Q¯¯¯p/Qp) as a geometric fundamental group

では、 
p進局所体の絶対Galois群を、 
perfectoidとtiltingを経由することにより、 
1点穴あき円盤上の同変エタール層の圏の幾何的基本群として、 
記述している。 
1点穴あき円盤は、Fargues-Fontaine curveによって記述され、 
その上のベクトル束は、Atiyahによる楕円曲線のベクトル束の構造と同様である。

楕円曲線のミラー対称性は、 
ベクトル束の構造を用いて、概正則三角形の数え上げを行うことにより、 
テータ関数の関数等式に帰着されたので、

• Fontaine-Fargues curveに対して、”シンプレクティック構造”を定めることにより、 
  p進局所体上のTate curveに対するテータ関数を対応させることが出来ないか?
• p進局所体上のetale theta functionを上記の構成で理解できないか?
• p進局所体に対するFrobenioidをperfectoidを用いた空間から得られる圏に対して直接定義できないか?

といった疑問が生じる。

さらに、リーマン面上の2次微分からFukaya圏を構成することの類似を 
p進局所体上で行うためには、 
indigenous束から得られるGalois群に対する壁超え 
を理解することが必要と思われる。 
そのために、 
- A Theory of Ordinary p-adic Curves

Chapter III: Canonical Modular Frobenius Liftingsの部分を、 
Faltingsの言葉(正直まとまった文献を知らない)ではなく、 
Perfectoidの言葉で書き直したほうが良いような気がする。

Fargues-Fontaine curve

• VECTOR BUNDLES ON CURVES AND p-ADIC HODGE THEORY
• Vector bundles with a Frobenius structure on the punctured unit disc

Written with StackEdit.