non-abelian Hodge

indogeneous bundleに付随するベクトル束をCalabi-Yau多様体と見てのMirror symmetry

• [DDDHP] Geometric transitions and integrable systems
• [HKK] Stability in Fukaya categories of surfaces
• [Smith] Quiver algebras as Fukaya categories

点付きRiemann面の双曲一位化を与える、ということは、 
indigenous bundle(PGL(2)-oper)を与える、ということに対応していた。 
P1-bundleを与えるrank 2ベクトル束は、複素3次元になるから、 
non-compact Calabi-Yau多様体と見なせる。 
この場合のMirror symmetryはどうなるか? 
という疑問が自然に浮かぶ。

[HKK]では、点付きRiemann面のみに注目して、圏を構成していたが、 
[Smith]では、CY3圏をrank3ベクトル束のdeterminantから構成している(Yϕ)。 
しかし、対応するindigenous bundleが与える双曲一位化の視点では見ていない。 
だから、indigenous bundleによって与えられる双曲一位化に対して、6=4+2=3+3の形で、実3次元双曲多様体の接バンドルが対応しないか? 
という点が気になる。 
resolved conifoldやそれをちょっと難しくした場合に、 
具体的なMIrrorの構成リストがないものだろうか?

WKB法の言い換えとしてのHiggs bundle

Introduction to Nonabelian Hodge Theory: flat connections, Higgs bundles and complex variations of Hodge structure 
完全WKB法では、

• 微分作用素に小さな係数をつける
• Borel総和法(i.e. Laplace変換)

が重要な役割を果たしていた。 
微分作用素に小さな係数をつける、ということは、 
接続の微分作用素に係数をつける、ということに対応して、 
λ-D-接続、という概念が定義される。 
λ=1の場合が普通の接続で、 
λ=0の場合が極限に対応するが、 
特に後者の構造をHiggs fieldと呼ぶ。

Kahler計量とFrobenius作用素

Nonabelian Hodge Theory in Characteristic p 
Karler計量とFrobenius作用素が概念的に対応する。 
従って、Higgs fieldの対応物が標数pの場合にもありそうだが、 
それが実際に存在し、Riemann-Hilbert対応に対応するものが、 
Cartier変換である、ということが説明されている。 
また、Hitchin fibrationの写像がp-curvatureになることが説明されている。

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