2017 rigid local system

rigid local system

• [DR] On the middle convolution of local systems
• [DS] Hodge theory of the middle convolution
• [Katz] Travaux de Laumon
• [Y] Rigidity in automorphic representations and local systems

cohomologically rigid $\Rightarrow$ phisically rigid

D-moduleの場合

• [BE] Local Fourier transforms and rigidity for D-modules

• Fourier変換は素朴には、$\exp(-tt')$を核とする$Spec(k[t])\times Spec(k[t'])$上の$Rp_{2*}p_{1}^{*}$の処理であるから、(2.1)の形で書け、さらにGauss-Manin connectionの形でde Rham複体の言葉で書き直せる(lem3.2)

• good lattice pairを用いて局所的にFourier変換$\cal{F}(0,\infty),\cal{F}(\infty,0),\cal{F}(\infty,\infty)$を定義できる(Prop-Def3.5,Def3.8,Def3.11)
• 局所Fourier変換$\cal{F}(0,\infty),\cal{F}(\infty,0)$を用いて圏同値が記述できる(Prop3.10)
• irregularityについての公式(Prop3.14)
• index of rididityの定義(Def4.2)
• rigidity=2の場合をcohomologically rigidとする
• Fourier変換でindex of rigidityは不変(Th4.3)
• rigid(phisically rigid)の定義(Def4.8)
• index of rigidity$\ge$2ならrigid(Th4.7)特に、cohomologically rigidならphysically rigid
• physically rigidならcohomologically rigid(Th4.10)
  
  • Th4.10の証明は、変形関手の表現可能性とsmoothnessを示して、普遍変形がlifting元の引き戻しであることを示す
  • 変形関手の表現可能性はSchlessinger’s Criterion　
  • 普遍変形はalgebraizable

$l$進層の場合

• [Fu1] Deformation of $\ell$-adic sheaves with Undeformed Local Monodromy
• [Fu2] Deformations and Rigidity of $\ell$-adic Sheaves

[Fu1]では、Schlessinger’s Criterionを用いて、
局所モノドロミーを保存する変形に対して、
pro-representabilityが示されている。(Th0.1)

Schlessinger’s Criterionとは、
https://ncatlab.org/nlab/show/deformation+functorにあるように、

• H1: 貼り合わせ可能(lem1.3)
• H2: infinitesimalには貼り合わせはunique(lem1.4.(b))
• H3: 接空間は有限(lem1.9)
• H4: small thickeningでの自身の貼り合わせはunique(lem1.4(a))

という条件。

[Fu2]では、[BE]の議論をl進層に移すために、rigid analytic spaceでの議論を行っている。

Q:

• p進層で局所Fourier変換を定義して、rigidityの議論ができるか?
• l進とp進の対応を保型表現を介してつける、という観点からは、rigid automorphic representatationはl進、p進と(arithmetic)Langlands対応により対応するはず。一方で、[Y]でのLanglandsは幾何学的Langlands対応を用いている。この間の関係は?
• Galois表現の変形関手を(何らかの条件の付加が必要?)示して、cohomologically rididの性質を同様に示せるか?
• lisse l進層のmoduliのnon algebraizabilityとPainleve性を結びつけることが出来るか?

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