非可換形式的超スキームとしてのA∞代数
スキームでは、位相空間の上に上部構造として局所環構造を用いて、 圏及び関手の言葉で空間を定義していた。
A∞代数を、1点と、その形式的近傍に上部構造としてhomologicalベクトル場の付加した空間、
とみなして、rough pathとのつながりを見たい。
k:標数0の体として、C=VectZkをZ graded vector spaces/kのなすテンソル圏とする。
この圏に対して、関数環、distibutionに対応するものを定義する。
Cfを有限次元のArtin圏⊂Cとして、 AlgCfをunital有限次元代数の圏とする。
CoalgC、CoalgCfをcoassosive counital coalgebras(resp. 有限次元)の圏とする。
CoalgCはCoalgCfのind-objectsのなす圏とみなせ(Prop2.1.2)、
F:AlgCf→Setsなる有限射影極限と可換な共変関手はCoalgCで表現可能となる。(Th2.1.1)
すなわち、CoalgCfは有限スキームに対応することになる。
B∈Ob(CoalgCf)について、対応する関手をSpc(B)で表しnoncommutative thin schemeと呼ぶ。
X=Spc(B)はdistributionsに対応し、
O(X)=B∗Xは関数環に対応する。
特に、V∈Ob(C)に対して、TV=⊕∞n=0V⊗nをcounital cofree coalgebraとし、
coproductΔを入れ、Vform=Spc(T(V))をnon-commutative formal affine spaceと呼ぶ。(Ex2.1.3)
X=Spc(T(V))の次元をdimkVとして定める。
これは、dim(X)=nの時、O(X)≃k≪x1,…,xn≫ となることから、座標を決めた1点の近傍に対応する。(Def2.1.4)
1点pt:k→BXはO(X)→kに対応する。
(X,pt)をnon-commutative formal pointed manifoldと呼ぶ。(Def2.1.5)
X=Spc(T(V))上のベクトル場はBX=T(V)に対するderivationに対応する。
ベクトル場の全体Vect(X)はgraded Lie環をなす。
d∈Vect(X)が次数1かつ[d,d]=0を満たすとき、homological vector fieldと呼び、
(X,d)をnon-commutative thin differential-graded schemeと呼ぶ。(Def3.1.3)
(X,x0)がnon-commutative formal graded pointed manifoldの時、dがx0で消えるとは、対応するderivationがx0の像を消すこと。
((X,x0),d)がnon-commutative formal pointed dg-manifoldとは、(X,x0)がnon-commutative formal pointed graded manifoldかつdがhomological vecor fieldでx0で消えること。(Def3.1.2)
dのx0におけるTaylor展開をみて、homological vector fieldの条件を書くことで、non-unital A∞代数が定義される。(Def3.1.3)(X,x0)の接空間Tx0XをBXのprimitive elements全体とすると、
BX=T(V)の時、Tx0X≃V[1]となるので、dn=mn:Tx0X⊗n→Tx0X[1],n≥1が定まる。(次元はKoszul規約に合わせるためにずれる)
(V[1]=Tx0X,m1)は複体となる。
11 件のコメント:
あ、よく見たら、こっちには詳しく書いていてくれたんですね。どうもです。
ところで最近ブログの体裁を微妙に変えました？
Firefox で見ると微妙にづれていて、、、そんでSafariで見てます。
StackEditというweb上のエディタがリアルタイムでMathMLの表示をしてくれるので、その結果をコピペするようにしています。
ずれていますか。私もMac上でSafariもしくはChromeでしか見ないので、気づきませんでした。
私に実害なので修正しませんが。
よくしらない人なんですが、T. Lyonsという人がいで、(ラフ)パスのsignitureということを盛んにやっているようですね。これはようするに、パスの全区間でのn重複積分の情報を全てのnについて集めたもののことみたい。 これが元のパスを（時間の付け替えをのぞいて）決定するか、という問題がすきみたい。
（ここまでは、deterministic）
次は、(ラフ)パス空間に測度をいれて、signitureの期待値を考えて、これが測度を決定するか、どいう問題を考え中みたい。だけど、これはKapranovのいう非可換フーリエ変換とどうやら同値です。（たぶんT.L.のほうが早い）
http://arxiv.org/find/all/1/au:+lyons_terry/0/1/0/all/0/1
R上の確率測度がそのモーメントだけで決定できるか、というモーメント問題がありますね。T.L.はどうやら上記の問題をモーメント問題の非可換かつ無限次元版だとみなしているようだね。つまり”expected signiture” が非可換モーメント。
で、あなたの投稿を見て、ふと思ったのですが、「非可換キュミュラント」にあたるものはあるんでしょうか？
それとも、代数を知らない私が読み取れていないだけで、その種のことをあなたはを延々と論じてきたのでしょうあ？
>非可換キュミュラント」にあたるものはあるんでしょうか？
Homotopy Probability Theory I
http://arxiv.org/abs/1302.3684v1
で提示されていることは、
ベクトル空間からCへの写像としてキュムラントを構成し、
今度はそれを複体(ベクトル空間と微分の組)に拡張しよう、というものでした。
ここで、dというのはA無限大構造でのm_{1}です。
Chenの反復積分は、
pathの持ち上げをshuffle代数によって規定される代数群上で行うというものでした。
ここでは下のベクトル空間の次元のみが重要ですが、
では、A無限大代数の場合のderivation $d$を考慮に入れて、
それと整合的な代数群(これが何なのかがわからないので申し訳ありません)を考える、そこへの持ち上げのみを考え、rough path化を行うとどうなるか?
というのが疑問です。
この疑問の動機として、
一つの流れは、
1. Chenの反復積分は自由ループ空間のコホモロジーを記述すると思ってよい
2. closedな多様体Mについて、T^{*}MのFloer cohomologyと自由ループ空間のコホモロジーは同型
(Floer cohomology of cotangent bundles
http://www.math.ethz.ch/~merrywi/Floer%20Homology%20of%20Cotangent%20Bundles.pdf
)
3. 深谷圏では、relative version(M,L)の組に対してFloer cohomologyを定義して、(弱)A∞代数を構成していた。(シンプレクティック幾何学(深谷) 定理6.215 )
ただし、係数は普遍Novikov環になる。
もう一つの流れは、
1. p-divisible groupを標数pで考えると、標数0への持ち上げの問題が生じる
2. Grothendieck-Messingにより標準的な持ち上げが存在し、変形はベクトル空間のfiltrationによって制御される。
3. 持ち上げを記述する上で重要なのはcrystalで、これは無限小近傍に対するつなげ方の情報を持つもの、すなわち接続と同値。
4. では、パスに対してsignatureを考える、ということを無限小近傍の情報を持つ、という意味でcrystalの類似と思えないだろうか?
5. crystalから比較銅系定理を導く時には、Beilinsonはホモトピー代数的(E∞的)な議論を使用している
6. A∞代数におけるHodge理論の議論とcrystalの議論の類似性を見たい
7. さらに、A∞代数におけるFeynman-Kac公式のようなものがあれば、次数帯なり複素数体なりでは、
それは調和形式にあたる複体の元を確率積分により記述できるのではないか?
と、自分で書いてみてもいろいろ非論理的な点が目につきます。
とりあえず、A∞代数に対応する接続と反復積分への制限
の対応が明確にならないと話が進まないです。
後もうひとつの流れとして、
1. くりこみの話とgraphを結びつけるものとしてConnes-Kreimerの議論がある
2. もう一方でCostelloによるくりこみの話があり、これは低エネルギー有効場によるもの
3. こちらはグラフとしてループも込みででてくる
4. Costelloのくりこみに対応する代数構造(E∞構造???)は、木の結合より複雑だろう
5. E∞代数の定義は面倒(http://mathoverflow.net/questions/36444/definition-of-an-e-infinity-algebra)
では、反復積分的な理解ができるか?そして、くりこみが記述できるか?
とぼんやりとした疑問があります。
crystalってなんだ、と思ってましたが、接続みたいなもんでしたか。
ところで、あなたの愛読書だというFVでは、rouph path はベキ零群上の通常のパスという立場で書いています。
すると、もとのユークリッド空間内のパスをラフパスにもちあげるのは、ファイバー束に接続があって底空間のパスを持ち上げる行為の一種と思えるのでしょうか？
仮にそうだとすると、普段使っている接続はなんで、それを別の接続に取り換えて嬉しいことが起きる可能性はあるのでしょうか、、、
などと、しばらく前から妄想してました。
面白そうなので、今度会ったときに詳しく聞かせてくださいませ。ここにはどうせ書ききれないと思うし。
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